从椭圆轨道到万有引力定律

1543年,哥白尼《天体运行论》的印刷出版，对天文学的研究起到了极大的促进作用，在牛顿之前，很多人对力学的发展作出了贡献，代表性的成就是，开普勒奠定了经典天文学的基础。

开普勒——天体立法者

开普勒家境贫寒，一生艰辛，凭借勇于创新、执着探索的可贵精神，发现了著名的行星运动三定律。

第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动，太阳位于椭圆的一个焦点上。

第二定律（面积定律）：每一行星的矢径（行星中心到太阳中心的连线）在相等的时间内扫过相等的面积。

第三定律（周期定律）：行星绕太阳运动的周期Ｔ的二次方与该行星的椭圆半长轴r的三次方成正比。

开普勒发现这些定律，经历了艰苦的探索历程，期间，1600年他成为＂星学之父＂第谷的助手，是一个转折点．第谷有一双明亮的眼睛，为了编制包括一千个天体的星表，二十年如一日持续观测，积累了大量可靠资料，测量误差不超过2ˊ。第谷1601年去世，这笔宝贵的科学财富就留给了开普勒。而他和第谷犹如天文学中一对互补的双星，他从第谷的资料中发现了真理。如果以匀速圆周运动来研究和第谷的观测结果比较，至少相差8ˊ以上，而第谷数据的误差不允许大于2ˊ。顽强的探索使开普勒突破了匀速率运动和圆轨道两个传统观念的束缚，于是误差消除，第一、第二定律随之诞生。想象和直觉第三次引导开普勒，使他感到还有秘密：杂散的数据中应该有统一，不协调中应该有和谐，后来终于发现：如果将地球的周期和轨道半长轴都设为1个单位，则所有行星的T²都等于r ^3（（见下表），这就是第三定律。

行星	偏心率e	r3（r地=1）	T2（T地=1）
水星	0.206	0.058	0.058
金星	0.007	0.378	0.378
地球	0.017	1.000	1.000
火星	0.093	3.540	3.537
木星	0.048	141.0	140.7
土星	0.055	878.1	867.7

开普勒的最后一次探索，是猜想行星运动定律只是某一个更普遍定律的表现，并着手从物理原因，即太阳的作用去寻找这个定律。开普勒没有完成这次探索，但方向无疑是正确的。他不愧为天体力学的奠基人。

从运动现象研究力——万有引力定律的建立

牛顿在《自然哲学的数学原理》的前言中说:“我奉献这一作品，作为哲学的数学原理，因为哲学的全部责任似乎在于——从运动的现象去研究自然界中的力，然后从这些力去说明其他现象。”万有引力定律的建立，体现了牛顿“从运动现象研究力，从力去说明其他现象”这一研究方法的完整过程。他在前人的基础上，以严整的理论体系，建立了关于物体运动的三个定律和万有引力定律。两者，如同互相支撑的两大基石，构成了经典力学和天文学。

当时已知的六大行星，其偏心率e除水星外都不大（见上表），可把行星轨道近似看作圆形，根据面积定律，行星应作匀速率圆周运动。

所以，其向心加速度： ①

对圆轨道，周期为： ②

周期定律： （K为与太阳有关的常量） ③

将②③代入①有： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ④

根据牛顿第二定律，即得行星受到的向心力： ⑤

这说明，开普勒第三定律实际上向人们提示这样的结论：一个行星所受到的向心力与其质量成正比，与它到太阳的距离二次方成反比。当然也是建立在牛牛顿经典力学的基础上的。

牛顿认为这种力应该是“万有”的，即普适的、统一的。因此地球对月亮、对地面重物也应遵循上述结论。于是月球绕地球沿圆轨道运行的向心加速度，按④式应是

其中 是地月距离， 是与地球有关的常量。类推地面物体，如果物体以足够大的水平速度射出，它就能不落地面而绕地球作圆周运动， 就是它的向心加速度。设地球半径为 ，则

从这两式消去 ，在将 代入，就得 或 ， ⑥

其中 天是月球绕地球运动周期。早在公元前2世纪，古希腊天文学家已测得 ，据此推算，月球的向心加速度应是g值的 ，⑥式中 就是月球的向心加速度。只要测得地球半径，就可以检验⑥式是否正确。现代的数据 ， ， 显然符合⑥式。牛顿获得了地球半径的准确数据之后，肯定了这一结果，证明了万有引力的假设是正确的。

万有引力定律的表述

自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比。即

式中 是万有引力常数 。

我们应当感谢开普勒、牛顿这些科学上的巨人。“俱怀逸兴壮思飞，欲上青天搅日月”，正是他们和千千万万的科学研究工作者的精密实验，艰苦思维，建造了现代的科学大厦，使后人摆脱了无知的迷信，带来了文明和进步。

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