摘 要

本文主要通过对高中三个年级的数学高成绩组和低成绩组的各15名学生进行了问卷调查、访谈以及个案观察，阐述了中学生对复数及其一些概念（模）的认知过程。结果显示，学生对复数及其一些概念（模）的理解呈现三个侧面：（1）代数式子意义上理解的复数；（2）几何意义上理解的复数；（3）整体意义上理解的复数。借助认知心理学的理论，本文详细分析了两组学生在三种理解上的认知特点及其原因。

本文中的调查显示，复数的三角形式是学生认知的难点，我从以下四点分析了对学生学习三角形式的影响：（1）三角比、三角公式对复数三角形式认知的影响；（2）复数三角形式的学习是学生对复数认知的重组和深化；（3）老师的信念和高考对学生学习复数三角形式的影响；（4）教材体系的编排对学生学习复数三角形式的影响。

我们还通过个案观察调查了带有不同思维倾向的学生（“代数型”、“几何型”、“平衡型”）在复数认知中的现状，并分析了其特点。

最后，基于对学生复数认知状况的分析，文章提出四点教学建议：（1）复数教学过程中，教师要多加关注学生已有的经验；（2）在解决问题过程中培养学生的复数应用意识；（3）注重培养学生在问题解决过程中发展符号感；（4）注重加强学生复数学习的过程体验。

Abstracts

This thesis mainly investigates the cognitive process of the concept of complex number and other concepts (module)

30 high school students who are in three grades were investigated. Half of the students are excellent and the others are slow learners. Questionnaires, interviews and case study were the main methods for the study. The findings show how the students understanding the concept of complex number and other related concepts ( For instance, module): (1) The concepts of complex number is understood from the perspective of algebraic expression; (2) The concepts of complex number is understood from the perspective of geometry; (3) The concepts of complex number is understood comprehensively. Based on the cognitive psychology theory, the cognitive characteristics of the students in these two groups as well as their causes are analyzed.

The study shows that there are some cognitive difficulties in the learning of triangular representation of complex number. Students’ understanding of the triangular representation of complex number are affected by some factors. (1) The concept of triangular ratio and triangle formula; (2) Reorganization and deep understanding of the concept of complex number which are promoted by the learning of triangular representation of complex number; (3) Teacher’s beliefs and college entrance examination. (4) The system of knowledge organized in teaching material.

Case study shows that how students’ different thinking styles: algebraic style, geometrical style and so called balancing style, affect them learning the concept of complex number. Some characteristics are analyzed.

Four suggestions for teaching are proposed based on the analysis of students learning. (1) In the process of teaching complex number, students’ preparations of related knowledge must be paid attention to; (2) Students’ ability of applying complex number must be fostered; (3) Students’ symbol sense should be developed; (4) Students’ learning experience in the learning must be emphasized.

Keywords：Complex Number, Cognition, Case Study

第一章． 导言

一． 问题的提出

（一）研究的必要性

（1）复数是高中学生认为较难的数学内容之一

在教学实践中，通过对学生的数学学习情况进行一般了解，常常可以听到这样的反映，学生认为复数是一大学习难点。我曾经对1所重点中学、2所非重点中学的200个学生进行问卷调查，还先后与20多位高中数学教师进行访谈，他们普遍反映“复数这一章概念较多，学生学习复数往往识记的成分偏多，理解的成分偏少，时间长了，容易忘记”。学生在实数基础上建构复数的概念要经历一系列认知冲突，比如说模和绝对值，它们的数学符号表示相同，两者有联系也有区别，绝对值的知识往往会影响复数模，对模的学习产生负迁移，学生是如何将模的概念同化和顺应到绝对值的概念中去的？在概念的发展过程中会经历哪些挫折？弄清这些问题对学生系统地，科学地掌握复数知识具有很强的指导意义，对指导我们的教学也会很有帮助。

（2）复数的学习有一个时间跨度

从上海数学课程设置来看，它将复数分成两部分，高一学复数的代数形式，高三学复数的向量表示和三角形式，例如，在高一教材中就已出现了复数的模的概念，但是到高三才对复数的模的几何意义和应用进行全面展开，那么学生在不同的学习阶段到底是怎样来理解模的概念的？他们的理解水平又达到什么样的层次？如能搞清楚这些问题，掌握学生学习的心理特点，这对指导我们教师的教学不无益处。

（3）复数与其它内容相比，具有更强的综合性

复数与其它知识的联系较多，特别是三角，解析几何，向量，比如说，复数有代数形式a+bi（a，b∈R）、几何形式点（a，b）、向量形式、三角形式r（cosθ+isinθ）、整体形式Z、指数形式；模既有代数公式，又有几何意义：|Z|表示复数z到原点的距离，还有整体形式|Z|。对于一道复数问题，往往既可以利用代数形式的方法，又可以从几何方法的角度考虑，还可以利用三角形式、整体对象进行思考。学生对复数、模等概念的理解是代数成分偏多还是几何成分偏多？两者的平衡性如何？它们过渡到整体形式的过程如何？带着这些问题，我想选择学生对复数的认知情况作为我研究的方向。

（二） 国内外相关研究

（1）国内对复数教学的研究

目前对于中学复数的教学的研究很多，例如：李红、郭远香在1998年《临沂师专学报》第3期发表了名为《复数教学中应注意的几个负迁移》^[10]的文章，文章将实数集内成立的法则、公式、定理和复数集内相应的法则、公式、定理作对比，从教学的角度提出如何克服迁移带来的负面影响。又比如：张伟平在2002年《数学通讯》第二期上发表了题为《谈数学认知结构的整合》^[11]的文章，他以复数为例谈到如何整合教学内容，优化学生的认知结构，他主要提出六点建议：（1）整合基本认知结构；（2）增大并整合功能化单元；（3）代数，几何，三角知识有机结合；（4）指导学生有意义地整合知识结构；（5）强调知识掌握的程度；（6）注意非智力因素的重要作用。整篇文章从教学的角度讨论如何根据以上内容减轻学生对概念，公式的记忆，更好地建构复数的认知结构。特别是他根据奥苏伯尔（Ausubel）有意义学习理论，强调指出优化学生复数的认知结构应从加强学生复数认知的整体化、系统化着手，先传授复数中具有包摄性、概括性和最有说服力的大的框架概念，然后在此基础上添砖加瓦 、对所接受的信息重新加以组织和综合，对相关的类别作出有层次结构的安排，构建一个精细而合理的认知结构：

图1-1 复数认知结构

在教学过程中，注重复数知识的整体化，有意识地整合学生的认知结构的确能够促进学生的复数概念向对象化发展。但是文章很少从学生认知实际的角度去思考和分析学生对复数及其有关概念的发展过程和特点，学生是学习的主体，一切教学内容都应以符合学生的认知规律为前提，所以，我将以“学生的学”为基点分析学生对复数中有关概念的理解水平。

（2）国内关于复数学习的研究

以往对复数学习的研究多以介绍解题方法、解题技巧为主，例如：何建国在1999年《玉溪师范高等专科学校学报》第3期上发表了《三路并进学复数》^[12]的文章，他抓住复数的三种表示方法：代数形式、三角形式、几何形式去寻求处理复数问题的解题方法和思路。另外也有关于学生对数的概念发展的研究，比如：薛文叙曾在2000年《数学教育学报》第3期发表了《关于学生对数和数的表示形式认知情况的案例研究》^[13]的文章，她通过对初一，初二，高二，高三几个学生对数的发展的认知情况的访谈记录，发现一些比较好的学生能够把字母看成一般的数或表示变量，对数的发展和数的表示形式多样化的认识比较清楚，对绝对值的认识能随着数的概念的发展而发展，如，有个高三学生回答：“在复平面上，绝对值是到原点的距离，由于绝对值表示距离，|…|可以认为是一种运算，还可用它来描述轨迹，如|z-1|+|z+1|=4……”，但是也有一些学习困难生，随着年龄的增长，对字母表示数的认识不一定增长，即使到了高三，也有一些人的认识停留在字母作为一个特定的数或特定的未知数，对绝对值的认识还不清楚。她从一个个案例分析，认为学生间的基础知识差异相对较小，综合运用知识的差异较大，她主要侧重于从数的认识角度对产生这些差异的原因进行分析，但是她没有专门对学生关于复数中有关概念的理解状况的发展即过程进行详细的调查，我将从高中阶段学生对复数和模等概念的理解形式、水平、认知情况作实验调查，并分析其原因。

（3）国外关于认知的研究

最近，国外对学生的认知问题研究很多，也总结了好多理论，如美国学者Ed Dubinsky认为学生学习数学概念要进行心理建构，建构过程要经历4个阶段：操作（Action）阶段，过程（Process）阶段，对象（Object）阶段，概型（Scheme）阶段^[14]，运用这一理论可以分析我们学生对复数及其有关概念的认知发展阶段。1998年，Tracy Goodson在《数学教育研究》（ESM）上发表了《具体化与反省抽象思维在抽象思维发展中的作用，从算术到代数的过渡》的文章，文章利用Anna Sfard的数学概念二重性理论和Cifarelli的反省抽象理论，通过观察3个被试去解决9个精心设计的应用数学问题，得出学生从算术向代数过渡程度与具体化，反省抽象程度之间的关系^[24]。作者通过非结构化的访谈，获取学生认知的真实信息，使其结论具有可靠性。这种研究方法值得我们借鉴，不过由于我国与美国学生具有不同的课程体系，处于不同的教学环境之中，其认知情况也肯定存在很大的差异。因此为了研究我国学生的认知状况，必须从我国的教学环境和学生的认知实际出发去发现规律并提出符合我国教育状况，能解决我国教育问题的教育教学观点，这也是我将进行研究的一个主要问题。

二． 研究目标

近年来，各地、各学校对复数的教学安排采取了不同的方式和方法，人民教育出版社的高中数学教材^[21]将“复数”安排在高二学段学习；北京师范大学的实验教材^[22]将“复数”设置在高三学段；上海华东师范大学出版社的高中数学教材^[23]将“复数”分设在高一和高三学段，而且对不同的学生，教学要求也不一样，对文科学生削减了“复数的向量表示”、“复数的三角形式”的教学要求，而只要求掌握高一教材中的“复数的代数形式”，对理科学生则要求没变，只是分高一、高三两个时间段来学习。另外，在实际教学中，不同的教师对复数的教学也持有不同的观点，甚至有着不同的对教材的处理方法。本文将选取一些中学的数学学习优秀生和困难生作复数学习情况的调查，着重关注以下几点：

（一） 考察高中不同阶段的学生对复数、模的概念的认知特点

上海高中数学课程的设置将复数分设在高一和高三两个阶段学习，高一学习复数的有关概念、复数的代数形式的四则运算、实系数一元二次方程的解；高三学习复数的三角形式、复数运算的几何意义。在两个学习阶段，学生对复数概念特别是复数表示方法的认知发展有何特点？另外在两个学习阶段教材都有对复数模的要求，高一仅仅是为了“形象”的完整而出现的一个概念，但也有与复数的几何模型挂钩的要求，到了高三，则因为在复数的三角形式及复数运算的几何意义中，复数的模是一个必要的工具，所以，教材不仅在例题，而且在练习和习题中，对模从各个角度进行了分析、应用。在前后学习过程中，学生对复数及其模的理解和应用呈现几个侧面？每一方面又处于什么水平？他们的认知显露出什么样的特点？这些将是我展开研究的起点。

（二） 考察学生对复数三角形式的认知特点

我曾经列出复数内容中6部分知识点，对3所中学（1所重点，2所非重点）的150位高三学生作过问卷调查，请他们选择复数这一章中他们认为最难学的内容，结果如图1-2所示，

图1-2 复数中部分内容的认知难度对比

调查结果显示，38.9%的高三学生认为复数的三角形式是最难的，在所有内容中比例最高。另外，我又访谈了25位高中数学教师，87%的教师认为三角形式是学生学得最不好的内容之一，问起原因，他们普遍反映复数三角形式的综合性比较强，三角的基础影响了学生新知识的学习。而且不少学校在安排实际教学时，对复数三角形式的处理又不一致，有的在高一学生学完三角以后就学，有的就按照现在课程设置安排在高三学习，这些对学生的理解和应用会有些什么影响？是什么原因导致学生学习三角形式感到困难？这些也将是本论文展开研究的着眼点。

（三） 考察具有代数、几何思维倾向的学生复数认知的特点

复数表示具有代数形式、几何形式和三角形式。学生解决有关复数问题，有时需要运用代数运算，而有时又必须应用几何意义。从学生角度来讲，有些学生偏爱代数问题，在思维倾向上，偏向于抽象思维，本研究中简称“分析型”，有些学生偏爱几何问题，在思维倾向上偏向于形象思维，本研究中简称“几何型”，当然也有些学生两方面比较平衡，本研究中简称“平衡型”，他们的这些思维倾向对他们理解和应用复数的代数形式和几何意义有哪些影响？这也是本文需要解决的问题之一。

（四） 从学生学习的角度分析对复数教学的启示

建构主义认为知识并不能简单地由教师或其他人传授给学生，而只能由每个学生依据自身已有的知识和经验主动地加以建构 ^[2]，这就要求教师必须为学生的学习创造合适的学习“环境”，在教学中从学生的认知实际出发，深入了解学生真实的思维活动，根据学生学习数学的心理规律进行教学，只有这样才能提高学生的理解水平，从而不断提高我们的教学效率。我将根据学生对复数的认知特点、学习过程的分析寻求复数教学的合理化建议，促进我们对教学的反思。

三．研究的理论基础

（一）认知结构和发展理论

著名哲学家、心理学家皮亚杰（Piaget，J.）认为人的思维发展不是直线上升的，而是分阶段的螺旋上升。他将儿童智力的发生和发展划分为四个阶段：感觉—运动阶段，前运算阶段，具体运算阶段，形式运算阶段。他还用“图式、同化、顺应、平衡”等概念来描述心理发展的发生机制，图式是指相对稳定的以动作（包括实际动作和抽象化了的在思想上展开的动作）为主的认知结构组织；同化就是由形成的图式接纳新知识，顺应则是改变内部特定的图式后再接纳新知识。当学生在学习过程中接触到新知识，就会对个体心理引起不平衡，通过同化和顺应这两种心理过程和机制，逐步达到或维持平衡。而且不断地对认知结构的建立和改进作进一步的反省思考，从中开发出更多的功能和深刻含义^[5]。

J．Biggs和K.Collis也认为儿童具体认知发展要经历四个阶段，每一阶段有单结构、多结构、关系和进一步抽象等不同水平的活动，而且阶段之间有一个重迭或交叉期，前一阶段的关系活动就是后一阶段的前结构活动，后一阶段中的单结构活动则相当于在前一阶段基础上所作的进一步的抽象。前结构活动表示学生还无能力达到这个阶段的活动方式要素的水平，但可以视为一个准备期，单结构活动表示只能对这个阶段的单个因素进行操作；多结构活动已能将原先认为无关联的几个方面联系起来，组成一个相对较大的整体；进一步的抽象是把上述几个水平的活动综合起来，组织成下一水平的具有新功能的活动。后一阶段在前一阶段的基础上进行形式上类似的结构重组，每一个水平的功能有其自己的整体，自己的特点和使用的材料，为后一阶段提供素材。后一阶段则将前一阶段整合，在结构重组过程中发展、过渡，再被更高阶段整合^[25]。

学生在初中学习实数和绝对值，在高中学习复数和模。根据认知结构和发展理论，这两个学习过程处于认知发展的两个阶段，从实数到复数、绝对值到模是一个水平到另一个水平的过渡和发展。认知结构水平的差异影响了学生学习这部分内容的效果。

（二）关于数学理解的理论

数学教育家R.Skemp认为数学理解有“工具性理解”和“关系性理解”之分。工具性理解是指知道法则但并不懂得其理由，即知道符号所代表的事物或操作的规则，但不知道其逻辑依据；而关系性理解是指对符号的意义、获得符号所代表的事物意义的途径、规则的逻辑依据等有深刻的认识。“理解”不是单方面的，它有多个侧面、多个成分，它是一个发展、变化的“范围”^[3]。

另外，Pirie和Kieren将数学理解划分成8个水平：初步了解、产生表象、形成表象、关注性质、形式化、观察评述、组织结构和发现创造。这8个水平的关系可以用8 个嵌套的圆来表示，每一个圆代表了一种水平，一个圆既包含前面的圆，同时又被后面的圆所包含，逐步拓广。这一模式描述了理解水平之间的相互关系。它将理解看作为整体的、动态的、分水平的而不是线性的发展。这表明理解是人们知识结构的不断、连续的组织，是一个动态的过程，而不是各种认识的获得^[3]。

学生对复数的几种形式和模的几种表示的理解是一个包含多种水平、不断建构、发展的过程。在教学中，根据学生的问题解决表现确定他们理解的程度和水平，以利于采取更加有效的教学手段促进学生理解水平的提高。

（三） 数学概念的二重性理论

在近几年的研究中，Anna Sfard等人认为许多数学概念特别是代数概念既表现为一种过程操作，又表现为对象、结构，具有二重性：过程—对象；算法—结果；操作行为—结构关系。作为概念的两个侧面，过程和对象是紧密联系的，形成一个概念往往是经历由过程开始，然后转变为对象的认知过程，在过程阶段，考虑的更多的是运算；而在对象阶段，考虑的更多的则是结构。完成一个概念从运算性的过程过渡到结构性的对象需要经历长期的过程，有时甚至是困难的，其间大致要有三个阶段：过程的内化、过程的压缩、对象的实体化或对象化。

在过程的内化阶段，学习者可以熟练地进行过程的运算，能够脱离相对具体的情境，转变或上升为心理上的操作，而不需要完全依赖具体的被操作对象和实际问题。这里的“内化”与Piaget在《发生认识论原理》中所表达的意义是一样的：如果一个过程能够通过心理表象运算，那么这个过程就已经内化了。

在过程的压缩阶段，随着过程的重复实施，学习者能够将一个长运算顺序压成一个易于操作的单元，这时单个的知识逐步降低了自身的地位，成为总体过程中的一个局部，从而将给定过程当作一个整体来考虑，使得内化了的心理操作简约和抽象。另外，在压缩阶段，由于比较和概括能力增强了，概念的不同表示之间的转换会变得更容易。

在实体化阶段，由于有了压缩的基础，概念达到结构化、整体化，完全摆脱了过程的束缚和限制，使得过程变成易于把握本质的实体对象。这时，学习者能够将一个数学概念看作带有自身特点的一个完整的对象。

Sfard还认为，过程的内化和压缩是逐步完成的，是量变，实体化经常是一个突然的转变，是质变。作为对象的概念，它既要操作别的对象，又要被高层次的运算来操作。而且，一个概念如果还未被高一级的过程运算，那么就看不出对象化的必要性^[26]。

根据Anna Sfard提出的数学概念二重性理论，学生对于复数和其中一些概念的学习也必然要经历从运算向结构性的过渡。它为我们分析学生理解、发展概念所处的层次、水平提供了新的理论基础。

四．研究对象、方法及过程

（一） 学生调查和访谈

（1）研究对象

我所要研究的是学生在整个高中阶段对复数的认知，由于时间和条件的限制，不可能对被试群体进行三年的全程跟踪，于是我在一段时间内分别抽取了高一、高二、高三各30名学生，这些学生分别来自上海交大附中和上海冠龙高级中学，其中每个年级15名学生是高成绩组，另外15名学生是低成绩组，高成绩组和低成绩组学生的界定是根据科任老师的推荐和这些学生上一学期期中考试和期末考试的成绩而划分的。两组学生中男生都是10名，女生都是5名，分别来自于每个年级的16个班，每班最多2个人。

（2）研究过程

根据研究需要我设计了一套针对高一、高二、高三学生复数学习的访谈问题（见附录一），高一学生在第一学期结束时进行访谈，之前他们学习过集合、不等式、复数、函数，特别是复数部分，他们学习过复数的有关概念（例如模，共轭复数等）、复数的代数形式的运算以及实系数一元二次方程的解等内容；高二学生安排在二年级第一学期结束时进行，之前他们学习过集合、不等式、复数、函数、指对函数、三角比、三角函数、直线和平面、多面体、向量等内容，高三学生安排在他们学完复数的三角形式以后第三个星期内进行的。

我采用标准式访谈和自由式访谈[19]相结合的方法，在标准式访谈中，每个学生按照程序被独立地要求去解决如下问题（以下简称访谈问题1）：

学生要求出声思考，在尝试使用每一种方法后，访谈者都鼓励每一位学生尽可能地去尝试采用不同的方法，整个过程希望产生更多的关于学生建构的数学图式的数据。每个学生总的访谈时间大约半个小时，安排在学生中午休息时间或他们自修课时间，每个被试被单独安排在具有隔音效果的教师办公室或图书馆资料室，同一个班级的被试均在同一时间或者相继时间段内进行测试，以免他们互相影响。所有被试解题的口语材料均被录音以及记录下来，他们的解题过程被保留并且经过分析进行编码，以便列出学生被激活的知识图式（见表2-1）。对于在标准式访谈中学生显露出的关键问题，我又通过自由式访谈的方法，灵活转换话题，追问重要线索，并且结合另外的访谈问题作进一步追踪调查，获得学生深层次的比较真实可靠的信息，以利于分析他们的认知水平和特点。

在对学生进行访谈之前，我先就问题1访谈了具有不同经验和数学水平的一些人（其中包括两位大学数学教师，两位高中数学教师以及两位高中阶段获得全国高中数学联赛一等奖的优秀生），我希望能从他们解决问题的过程中获得访谈问题所涉及的数学知识图式的数量，经过对他们解题过程和访谈记录分析，总共得到12个数学知识图式（见表2-1），虽然他们没有一个人能显示出表中的所有图式，但是他们的图式合在一起，基本上提供了与解决目标问题有关的尽可能多的数学知识图式。并且从先前涉及的参与者的解题过程得到关于访谈问题1中（2）的以下五种解题方式或解题途径：

1． 代数形式解法

这种方法使用复数模的代数形式，首先设出复数的代数形式Z=x+yi（x，y∈R），然后将条件|Z+1|=1表示成（x+1）²+y²=1，进而得到y²=-x²-2x，并且将其代入==,同时由y²≥0，求出x的范围：-2≤x≤0，再利用一次函数的单调性，求出|Z-1|的取值范围[1，3]。

2． 几何意义的方法

这个方法是将复数的模理解为到原点的距离，进而推出两个复数之差的模表示两个复数对应的点之间的距离，|z+1|表示以（-1，0）为圆心，1为半径的圆上的点，|z-1|则表示上述圆上的点到点（1，0）的距离，从而可以观察出其最大值3和最小值1。

3． 三角形式的方法

这种方法是利用复数的三角形式设出复数z+1=cosθ+isinθ（i为虚数单位），然后将|z-1|表示为=，从而利用余弦函数cosθ的值域为[-1，1]，求出求出|Z-1|的取值范围[1，3]。

4． 整体形式的方法

这种方法将z看成一个整体，一个运算对象，而不将其用代数形式或几何形式或三角形式设出，直接利用模的性质和运算法则进行演算，根据|z+1|=1得到1=|z+1|²=（z+1）（+1）=|z|²+（z+）+1，所以z+=-|z|²，又-4≤z+≤0，得到0≤|z|²≤4，所以|z-1|²=（z-1）（-1）=|z|²-（z+）+1=（2|z|²+1）∈[1，9]，所以|z-1|∈[1，3]。

5． 不等式方法

这种方法利用||z|-1|≤|z+1|≤|z|+1，得到0≤|z|≤2，然后再利用||z|-1|≤|z-1|≤|z|+1，得到|Z-1|的取值范围[1，3]。

根据以上这些解题方法，我对所有被试的解题过程进行分析、归类，得到他们使用解题方法的次数表（见表2-2），当然也有一些学生在问题给予的信息和正确的解题结果之间不能显示清晰的路径或解题过程，则将他们的解题方法归为不可辨认的方法。表2-1和表2-2中的数据为揭示各类学生在问题解决过程中心理模式建构的特征和对复数中有关概念理解的层次水平提供了可靠的依据。

（二） 教师访谈

建构主义认为，学生学习新知识，主要是自己的认知结构主动建构的过程[2]，但是他们的认知往往又受到很多因素的影响，其中教师和教材的影响最为突出，教师的教学观点、教学方法往往能够促进或阻碍学生的理解。再者，为了获取学生对复数认知的难点、学生总体学习水平的评价以及他们的思维特点，我先后对五所中学（2所市重点、1所区重点，2所普通中学）的二十五位高中数学教师进行了自由式访谈，访谈内容包括：学生对复数内容认知难点的评定；对复数三角形式的教学观点、教学方法；访谈学生的认知特点等多个方面，从而为了解学生对复数的认知提供了比较全面的资料。

作品

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