[难点突破]

　　本小节重点内容是球面和球体的有关概念、性质与计算公式，根据新考试大纲的要求，球冠和球缺的概念只要求了解。

　　学习时应注意球面与球体的区别：半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体。

　　“用一个平面去截一个球，截面是圆面”这一性质很重要，因为我们知道了球的截面是圆面后，就可把球的有关问题转化成圆的有关问题来解决。有关球的截面应掌握下面两个重要性质：

　　(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；

　　(2)由球半径(R)，截面圆半径(r)及球心到截面的距离d，构成直角三角形，因而有关系式，它们是计算球的关键所在。

　　球面上两点间的距离是本小节的难点，学习时，一要理解概念，包括经、纬度的概念，二要掌握计算的方法。如求球面上A，B两点的球面距离，关键是求出弦长AB，进而求出球心角AOB的弧度数，再利用弧长公式求出大圆的劣弧长。

　　与球有关的结合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系并作出合适的截面图。如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的对角线等于球的直径。球与旋转体的结合体，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的结合体，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出一个截面图。

[例题分析]

　　【例1】半径为1的球面上有A，B，C三点，其中A和B的球面距离，A和C的球面距离都是π／2，B和C的球面距离是π／3，求球心O到平面ABC的距离。

【分析】已知条件涉及O，A，B，C四个点，能否将四个点所确定的图形抽象出来，以避免在解题中受到无关条件的影响。

　　【解析】如图所示

　　∵球O的半径为1，

　　∴A和B的球面距离=∠AOB·1=π／2，

　　∴∠AOB=π／2，

　　又OA=OB=1，

　　∴AB=。

　　同理∠AOC=π／2，AC=，∠BOC=π／3，BC=1。由∠AOB=∠AOC=π／2得：OA⊥平面OBC。

　　设所求距离为d，

　　则由V_O-ABC=V_A-OBC知：

　　1／3·S_△ABC·d=1／3S_△OBC·OA，

　　由此解得。

　　【例2】在北纬45°的纬度圈上有A，B两点，它们分别在东经70°与东经160°的经度圈上，设地球半径为R，求A，B两点的球面距离。

　　【分析】依题意A，B的球面距离就是A，B，O所确定大圆劣弧长，为此必须求出角AOB的大小。结合已知条件，可先求出AB的弦长，问题迎刃而解。

　　【解析】如图所示，设北纬45°的纬度圈的圆心为O₁，地球中心为O。

　　则∠AO₁B=90°，∠OBO₁=45°，OB=R。

　　∴O₁B=O₁A=R，

　　∴AB=R，连接AO、AB，

　　则AO=BO=AB=R，

　　∴∠AOB=60°，

　　∴AB=1／6·2πR=1／3πR。

来源：学习报(高二数学版)/2004年/03月/22日/第001版/