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结构。
所谓顺应，就是当原有的数学认知结构不能接纳新的学习内容时，必须对原有的数学认知结构进行调整和改造，以适应新的学习内容的需要。例如，初中一年级学生学习负有理数，就是把负有理数同化到正有理数结构中去的过程，学生在小学已形成了0和正有理数的认知结构，因此，当把负有理数的概念输入时，学生就在他们头脑中筛选出可以纳入负有理数的数学认知结构棗正有理数认知结构。根据这个结构，对负有理数进行加工改造，建立起负有理数和正有理数之间的联系：在数轴上，负有理数是0左边的数，负有理数的性质和正有理数的性质相反，负有理数的加、减运算可用正有理数来定义，等等。负有理数就被同化到正有理数认知结构中去了，原有的正有理数认知结构被扩充成有理数认知结构，这个过程可用下面的图2来表示：
图2 有理数认知结构形成过程
再如，学生学习函数概念的过程就是顺应的过程。初中生刚学习函数时，原有的认知结构不能适应新的认知需要，在此之前，学生原有的认知结构中只有常量数学的有关知识，主要是代数式的恒等变形和方程、不等式的等价变形，以通过运算求得结果为目的，其主要手段是运算。而学习变量的概念，要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，其表达的主要手段是列出解析式或描绘图象。比如，在学习函数概念之前学习圆的面积公式，是为了利用圆的半径去计算圆的面积；而在学习函数概念时，则要换个角度来考察圆的面积公式，将其看成圆的面积与半径之间相互变化所遵循的规律。显然，学生原有的认知结构不能和新的认知需要相适应，学生必须对原有认知结构进行调整，以适应新的学习需要，并建立新的数学认知结构，我们可用图3来表示这一过程：
变量及相互关系→常量数学认知结构→函数认知结构
同化和顺应是学习过程中学生原有数学认知结构和新学习内容相互作用的两种不同的形式；它们往往存在于同一个学习过程中，只是侧重面不同而已。例如上面所说的负有理数的学习，原有的正有理数认知结构也有所改变，以顺应新知识的学习；而在函数概念的学习中，也存在着同化的过程。
（三）操作运用阶段
这一阶段是运用在相互作用阶段形成的新的数学认知结构去解决问题的过程。这里的操作指智力活动，也就是数学思维活动，操作的主要方式是数学练习。这一阶段的主要任务就是要使刚刚产生的数学认知结构趋于完善，达到预期的教育目标。
数学学习过程的这三个阶段是紧密联系的，任一阶段的学习出现纰漏，都会影响学习的质量。通过剖析数学学习的一般过程可看出，不但输入阶段和相互作用阶段对新知识的加工、接纳取决于学生已有的数学认知结构的状况，而且操作运用阶段中问题解决的策略、方式和途径的选择也与一定的认知结构相适应。因此，有效的数学学习，要求新知识与原数学认知结构处于相互容纳的动态平衡状态之中。
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