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2016年中考数学模拟专题演练详解：规律探索问题第二篇专题能力突破专题一规律探索问题A组2015年全国中考题组一、选择题1．(2015·湖北黄冈中学自主招生，9，3分)两列数如下：7，10，13，16，19，22，25，28，31…7，11，15，19，23，27，31，35，39…第1个相同的数是7，第10个相同的数是  ()A．115 B．127 C．139 D．151解析第一组数7，10，13，16，19，22，25，28，31，…第m个数为：3m＋4；第二组数7，11，15，19，23，27，31，35，39，…第n个数为：4n＋3.∵3与4的最小公倍数为12，∴这两组数中相同的数组成的数列中两个相邻的数的差值为12.∵第一个相同的数为7，∴相同的数组成的数列的通式为12n－5.第10个相同的数是：12×10－5＝120－5＝115.答案A2．(2015·重庆(B)，8，3分)下列图形都是由几个黑色和白色的正方形按一定规律组成，图1中有2个黑色正方形，图2中有5个黑色正方形，图3中有8个黑色正方形，图4中有11个黑色正方形，…，依此规律，图11中黑色正方形的个数是    ()A．32  B．29C．28  D．26解析观察图形发现：图1中有2个黑色正方形，图2中有2＋3×(2－1)＝5个黑色正方形，图3中有2＋3×(3－1)＝8个黑色正方形，图4中有2＋3×(4－1)＝11个黑色正方形，…，图n中有2＋3×(n－1)＝3n－1个黑色的正方形，当n＝11时，2＋3×(11－1)＝32.答案A3．(2015·重庆(A)，8，3分)下列图形中都是由同样大小的小圆圈按一定规律组成的，其中第1个图形中一共有6个小圆圈，第2个图形中一共有9个小圆圈，第3个图形中一共有12个小圆圈，…，按此规律排列，则第7个图形中小圆圈的个数为    ()A．21  B．24C．27  D．30解析观察图形得：第1个图形有3＋3×1＝6个圆圈，第2个图形有3＋3×2＝9个圆圈，第3个图形有3＋3×3＝12个圆圈，…，第n个图形有3＋3n＝3(n＋1)个圆圈．当n＝7时，3×(7＋1)＝24，故选B.答案B4．(2015·浙江宁波，10，3分)一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，若b0＝1，则b2015的值是  ()A．1 B．6 C．9 D．19解析∵b2n＋1＝bn，b2n＋2＝bn＋bn＋1，∴b2015＝b1007＝b503＝b251＝b125＝b62＝b30＋b31＝b14＋b15＋b15＝b6＋b7＋2b7＝3b3＋b2＋b3＝4b3＋b0＋b1＝5b1＋b0＝6b0.∵b0＝1，∴b2015的值是6.答案B5．(2015·山东德州，5，4分)一组数1，1，2，x，5，y，…满足"从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和"，那么这组数中y表示的数为 ()A．8 B．9 C．13 D．15解析∵每个数都等于它前面的两个数之和，∴x＝1＋2＝3，∴y＝x＋5＝3＋5＝8，即这组数中y表示的数为8.故选A.答案A二、填空题6．(2015·广东深圳，9，4分)观察下列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第5个图形有________个太阳．解析第一行小太阳的个数为1，2，3，4，…，第5个图形有5个太阳，第二行小太阳的个数是1，2，4，8，…，2n－1，第5个图形有24＝16个太阳，所以第5个图形共有5＋16＝21个太阳．答案217．(2015·浙江湖州，16，4分)已知正方形ABC1D1的边长为1，延长C1D1到A1，以A1C1为边向右作正方形A1C1C2D2，延长C2D2到A2，以A2C2为边向右作正方形A2C2C3D3，(如图所示)，以此类推…，若A1C1＝2，过点A，D2，D3，…D10都在同一直线上，则正方形A9C9C10D10的边长是________．解析设A1C1交AD10于点E，根据正方形的排放规律，可知，△AD1E∽△D2A1E，∴12＝1－A1EA1E，解得A1E＝23；△D2A1E∽△D3A2D2，∴A2D3－223＝A2D32，解得A2D3＝3，△A2D2D3∽△A3D3D4，∴A3D4－31＝A3D43，解得A3D4＝92；△A3D3D4∽△A4D4D5，∴A4D5－9292－3＝A4D592，解得A4D5＝3322；∴AnDn＋1＝3n－12n－2，A9D10＝3827(或6561128)．答案3827(或6561128)三、解答题8．(2015·四川自贡，22，12分)观察下表：我们把某格中各字母的和所得多项式称为"特征多项式"．例如，第1格的"特征多项式"为4a＋b.回答下列问题：(1)第3格的"特征多项式"为________，第4格的"特征多项式"为________，第n格的"特征多项式"为________；(2)若第1格的"特征多项式"的值为－10，第2格的"特征多项式"的值为－16，求a，b的值．解(1)观察图形发现：第1格的"特征多项式"为4a＋b，第2格的"特征多项式"为8a＋4b，第3格的"特征多项式"为12a＋9b，第4格的"特征多项式"为16a＋16b，…第n格的"特征多项式"为4na＋n2b；故填12a＋9b16a＋16b4na＋n2b.(2)∵第1格的"特征多项式"的值为－10，第2格的"特征多项式"的值为－16，∴4a＋b＝－10，8a＋4b＝－16，解得：a＝－3；b＝2，∴a，b的值分别为－3和2.B组2014～2011年全国中考题组一、选择题1．(2012·浙江丽水，10，3分)小明用棋子摆放图形来研究数的规律，图1中棋子围成三角形，其颗数3，6，9，12，…称为三角形数，类似地，图2中的4，8，12，16，…称为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是()图1图2A．2010 B．2012 C．2014 D．2016解析∵图1中各三角形的棋子数分别是3，6，9，12，…，显然都是3的倍数，图2中各正方形棋子数分别是4，8，12，16，…，显然都是4的倍数，∴既是三角形数又是正方形数的棋子数必能被12整除，而2010，2012，2014，2016四个数中，只有2016能被12整除，故答案选D.答案D2．(2013·山东日照，11，4分)如图，下列各图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，图形中M与m，n的关系是  ()A．M＝mn  B．M＝n(m＋1)C．M＝mn＋1  D．M＝m(n＋1)解析方法一：验证法：A中等式不满足第一个图形，故排除A；B中等式不满足第一个图形，故排除B；C中等式不满足第二个图形，故排除C；故选D.方法二：观察三个图形中数字的变化，可知1×(2＋1)＝3，3×(4＋1)＝15，5×(6＋1)＝35，故M与m，n的关系是M＝m(n＋1)，故选D.答案D3．(2014·重庆，10，4分)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是  ()A．22 B．24 C．26 D．28解析已知三个图形中三角形的数目为：2，8，14，求差为：8－2＝6，14－8＝6，差相等，所以各个数据可以看作：2＝6－4，8＝6×2－4，14＝6×3－4，则第五个图形中三角形的个数是：6×5－4＝26，故选C.答案C4．(2012·浙江绍兴，10，4分)如图，直角三角形纸片ABC中，AB＝3，AC＝4，D为斜边BC中点．第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交于点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；……；设Pn－1Dn－2的中点为Dn－1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn－1重合，折痕与AD交于点Pn(n>2)．则AP6的长为    ()A.5×35212  B.365×29C.5×36214  D.375×211解析在Rt△ABC中，AC＝4，AB＝3，所以BC＝5.又D是BC的中点，所以AD＝52.因为点A，D是一组对称点，所以AP1＝52×12.因为D1是DP1的中点，所以AD1＝52×12×32，∴AP2＝52×12×32×12，同理AP3＝52×12×(32×12)2，…，APn＝52×12×(32×12)n－1，所以AP6＝52×12×(32×12)6－1＝52×12×(32×12)5＝5×35212，故应选A.答案A5．(2014·山东威海，12，3分)如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△OA1C1，Rt△OA2C2，Rt△OA3C3，…的斜边都在坐标轴上，∠A1OC1＝∠A2OC2＝∠A3OC3＝∠A4OC4＝…＝30°.若点A1的坐标为(3，0)，OA1＝OC2，OA2＝OC3，OA3＝OC4，…则依此规律，点A2014的纵坐标为()A．0 B．－3×(233)2014C．(23)2014 D．3×(233)2013解析OA2＝OC2sin60°＝OA1sin60°＝332＝3×233.同理可求：OA3＝3×(233)2；OA4＝3×(233)3......以此类推OAn＝3×(233)n－1.又因为2014÷4＝503…2，所以点A2014与点A2在同一半轴上，故点A2014的纵坐标为3×(233)2013，故选D.答案D二、填空题6．★(2013·江西，11，3分)观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为________(用含n的代数式表示)．解析第一个图形共有4个点，第二个图形共有9个点，第三个图形共有16个点，4，9，16都是完全平方数，故可看作4＝(1＋1)2，9＝(2＋1)2，16＝(3＋1)2，则第n个图形中所有点的个数为(n＋1)2.答案(n＋1)27．(2013·浙江湖州，15，4分)将连续的正整数按以下规律排列，则位于第七行、第七列的数x是________． 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第六列 第七列 …第一行 1 3 6 10 15 21 28 第二行 2 5 9 14 20 27  第三行 4 8 13 19 26 …  第四行 7 12 18 25 …   第五行 11 17 24 …    第六行 16 23 …     第七行 22 …     x … …       解析第一行的第一列与第二列相差2，第二列与第三列相差3，第三列与第四列相差4，…第六列与第七列相差7，第二行的第一列与第二列相差3，第二列与第三列相差4，第三列与第四列相差5，…第五列与第六列相差7，第三行的第一列与第二列相差4，第二列与第三列相差5，第三列与第四列相差6，第四列与第五列相差7，…第七行的第一列与第二列相差8，是30，第二列与第三列相差9，是39，第三列与第四列相差10，是49，第四列与第五列相差11，是60，第五列与第六列相差12，是72，第六列与第七列相差13，是85；故答案为85.答案858．(2014·贵州毕节，18，5分)观察下列一组数：14，39，516，725，936…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数据的第n个数是________．解析分子依次为1，3，5，7，9，…，可表示为2n－1；分母依次为22，32，42，52，62，…，可表示为(n＋1)2，所以第n个数是2n－1（n＋1）2.答案2n－1（n＋1）29．(2012·浙江湖州，16，4分)如图，将正△ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小正三角形，若mn＝4725，则正△ABC的边长是________．解析设正△ABC的边长为x，则高为32x，S△ABC＝12x·32x＝34x2.∵所分成的都是正三角形，∴结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为32x－3，较短的对角线为(32x－3)33＝12x－1，∴黑色菱形的面积＝1232x－312x－1＝38(x－2)2，∴mn＝34x2－38（x－2）238（x－2）2＝4725，整理得，11x2－144x＋144＝0，解得x1＝1211(不符合题意，舍去)，x2＝12.∴△ABC的边长是12.答案1210．(2014·江苏扬州，18，3分)设a1，a2，…，a2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a1＋a2＋…＋a2014＝69，(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是________．解析设这些数中0的个数为a，则由a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝69可知：1的个数比－1的个数要多69，即1的个数为2014－a＋692，而－1的个数为2014－a－692；再考虑到另一个等式(a1＋1)2＋(a2＋1)2＋…＋(a2014＋1)2＝4001，得到每个数＋1后，其中平方后为4的数有2014－a＋692个，1有a个，其余都是0，可知4·2014－a＋692＋a＝4001，解得a＝165.答案165三、解答题11．(2013·浙江绍兴，19，8分)如图，矩形ABCD中，AB＝6.第1次平移矩形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到矩形A1B1C1D1；第2次平移矩形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到矩形A2B2C2D2；…；第n次平移矩形An－1Bn－1Cn－1Dn－1沿An－1Bn－1的方向向右平移5个单位，得到矩形AnBnCnDn(n≥2)．(1)求AB1和AB2的长；(2)若ABn的长为56，求n.解(1)由题意可得，B点向右平移5个单位到达B1点，故AB1＝6＋5＝11；B1点再向右平移5个单位到达B2点，所以AB2＝11＋5＝16；(2)由(1)知AB1＝6＋5，AB2＝6＋2×5，依此类推，AB3＝6＋3×5，…，ABn＝6＋5n，∴ABn＝6＋5n＝56，n＝10.