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免费2017年四川中考突破复习题型专项(十)圆的简单证明与计算中考数学热点考点汇编网题型专项(十)圆的简单证明与计算1．(2016·乐山)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC边为直径作⊙O交BC边于点D，过点D作DE⊥AB于点E，ED，AC的延长线交于点F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若EB＝32，且sin∠CFD＝35，求⊙O的半径与线段AE的长．解：(1)证明：连接OD.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACD.∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD.∴∠B＝∠ODC.∴OD∥AB.∵DE⊥AB，∴OD⊥EF.∴EF是⊙O的切线．(2)在Rt△ODF和Rt△AEF中，∵sin∠CFD＝35，∴ODOF＝AEAF＝35.设OD＝3x，则OF＝5x.∴AB＝AC＝6x，AF＝8x.∵EB＝32，∴AE＝6x－32.∴6x－328x＝35.解得x＝54.∴⊙O的半径长为154，AE＝6.2．(2016·鄂州改编)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO是∠CAB的平分线．以O为圆心，OC为半径作⊙O.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD＝12，求AEAC的值．解：(1)证明：过点O作OF⊥AB于点F.∵AO平分∠CAB，OC⊥AC，OF⊥AB，∴OC＝OF.∴AB是⊙O的切线．(2)连接CE.∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，即∠ECO＋∠OCD＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECO＝90°.∴∠ACE＝∠OCD.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC.∴∠ACE＝∠ODC.∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC.∴AEAC＝CEDC.∵tanD＝12，∴CECD＝12，∴AEAC＝12.3．(2016·云南)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE＝6，∠D＝30°，求图中阴影部分的面积．解：(1)证明：连接OC.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.又∵AC平分∠BAE.∴∠OAC＝∠CAE.∴∠OCA＝∠CAE.∴OC∥AE.∴∠OCD＝∠E.又AE⊥DC.∴∠E＝90°.∴∠OCD＝90°.∴OC⊥DC.∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线．(2)在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6.∴AD＝2AE＝12.在Rt△OCD中，∵∠D＝30°.∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC.∴DB＝OB＝OC＝OA＝13AD＝4，DO＝8.∴CD＝DO2－OC2＝82－42＝43.∴S△OCD＝CD·OC2＝43×42＝83.又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°.∴∠DOC＝60°.∴S扇形OBC＝16×π×OC2＝8π3.∵S阴影＝S△OCD－S扇形OBC，∴S阴影＝83－8π3.∴阴影部分的面积为83－8π3.4．(2016·广安岳池县一诊)如图，PA为⊙O的切线，A为切点，过点A作OP的垂线AB，垂足为点C，交⊙O于点B.延长BO与⊙O交于点D，与PA的延长线交于点E.(1)求证：PB为⊙O的切线；(2)若OC∶BC＝2∶3，求sinE的值．解：(1)证明：连接OA.∵PA为⊙O的切线，∴∠PAO＝90°.∵OA＝OB，OP⊥AB，∴BC＝CA，PB＝PA.在△PBO和△PAO中，PB＝PA，OP＝OP，OB＝OA，∴△PBO≌△PAO(SSS)．∴∠PBO＝∠PAO＝90°.∴PB为⊙O的切线．(2)连接AD.∵BD是直径，∴∠BAD＝90°.由(1)知∠BCO＝90°，∴AD∥OP.∴△ADE∽△POE.∴EAEP＝ADPO.∵BC＝AC，OB＝OD，∴OC是△ABD的中位线，∴AD＝2OC.∵OC∶BC＝2∶3，设OC＝2t，则BC＝3t，AD＝4t.∵∠OBC＋∠PBC＝90°，∠BOC＋∠OBC＝90°，∴∠BOC＝∠PBC.∵∠OCB＝∠BCP，∴△PBC∽△BOC.∴BCOC＝PCBC，即3t2t＝PC3t，∴PC＝92t，OP＝132t.∴EAEP＝ADOP＝813.设EA＝8m，EP＝13m，则PA＝5m.∵PA＝PB，∴PB＝5m.∴sinE＝PBEP＝513.5．(2014·攀枝花)如图，△ABC的边AB为⊙O的直径，BC与圆交于点D，D为BC的中点，过点D作DE⊥AC于点E.(1)求证：AB＝AC；(2)求证：DE为⊙O的切线；(3)若AB＝13，sinB＝1213，求CE的长．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.∴AD⊥BC.又D是BC的中点，∴AB＝AC.(2)证明：连接OD.∵O，D分别是AB，BC的中点，∴OD∥AC.∴∠ODE＝∠DEC＝90°.∴OD⊥DE.∴DE是⊙O的切线．(3)∵AB＝13，sinB＝1213，∴ADAB＝1213，即AD＝12.∴由勾股定理得BD＝5.∴CD＝5.∵∠B＝∠C，∴DECD＝1213，即DE＝6013.∴根据勾股定理得CE＝2513.6．(2016·苏州)如图，AB是⊙O的直径，D，E为⊙O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交⊙O于点F，连接AE，DE，DF.(1)证明：∠E＝∠C；(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数；(3)设DE交AB于点G，若DF＝4，cosB＝23，E是弧AB的中点，求EG·ED的值．解：(1)证明：连接AD.∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC，∴∠B＝∠C.又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，∴∠AFD＝180°－∠E.又∠CFD＝180°－∠AFD，∴∠CFD＝∠E＝55°，又∵∠E＝∠C＝55°.∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.(3)连接OE.∵∠CFD＝∠AED＝∠C，∴FD＝CD＝BD＝4.在Rt△ABD中，cosB＝23，BD＝4，∴AB＝6.∵E是AB︵的中点，AB是⊙O的直径，∴∠AOE＝90°.∵AO＝OE＝3.∴AE＝32.∵E是AB︵的中点，∴∠ADE＝∠EAB.又∵∠AEG＝∠DEA.∴△AEG∽△DEA.∴AEGE＝DEAE，即EG·ED＝AE2＝18.7．(2016·雅安)如图1，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上一点，EC切⊙O于点C，OP⊥AO交AC于点P，交EC的延长线于点D.(1)求证：△PCD是等腰三角形；(2)CG⊥AB于点H，交⊙O于点G，过点B作BF∥EC，交⊙O于点F，交CG于Q点，连接AF，如图2，若sinE＝35，CQ＝5，求AF的值．解：(1)证明：连接OC.∵EC切⊙O于点C，∴OC⊥DE，即∠OCP＋∠DCP＝90°.又∵OP⊥OA，∴∠OAP＋∠OPA＝90°.∵OA＝OC，∴∠OCP＝∠OAP.∴∠DCP＝∠OPA.又∵∠OPA＝∠DPC，∴∠DCP＝∠DPC.∴DP＝DC，即△PCD为等腰三角形．(2)连接OC，BC.∵DE与⊙O相切于点C，∴∠OCE＝90°，即∠OCB＋∠BCE＝90°.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC.∴∠OBC＋∠BCE＝90°.又∵CG⊥AB，∴∠OBC＋∠BCG＝90°.∴∠BCE＝∠BCG.∵BF∥DE，∴∠BCE＝∠QBC.∴∠BCG＝∠QBC.∴QC＝QB＝5.∵BF∥DE，∴∠ABF＝∠E.∵sinE＝35，∴sin∠ABF＝35.∴QH＝3，BH＝4.设⊙O的半径为r.∴在Rt△OCH中，r2＝82＋(r－4)2.解得r＝10.又∵∠AFB＝90°，sin∠ABF＝35，∴AF＝12.