一、目的要求

在映射的基础上理解函数的概念。

二、内容分析

1．函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的：

设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟一的值y与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。

我们看到，这里是用运动变化的观点对函数进行定义的，它反映了历史上人们对它的一种认识，而且这个定义较为直观，易于接受，因此按照由浅入深、力求符合学生认知规律的内容编排原则，函数概念在初中介绍到这个程度是合适的。但是，由于这个定义并未完全揭示出函数概念的本质，在以函数为重要内容的高中阶段，课本应将函数定义为两个集合之间的一种映射，按照这种观点，函数是两个数集（或其某个子集）之间的一种特殊的映射，这样就使我们对函数概念有了更深一层的认识。例如，对于函数

如果用运动变化的观点去看它，就不好解释，显得牵强。但如果用映射的观点看，就显得非常自然。

2．函数概念有三个要素：对应法则，定义域和值域。

函数的对应法则通常用记号f表示，函数记号y＝f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”作用下得到y。在比较简单的情况下，对应法则f可用一个解析式来表示，但在不少问题中，对应法则要用几个解析式来表示，有时甚至不可能用解析式来表示，而要用其他方式（如列表、图象）来表示。

定义域是指原象的集合，即自变量的取值范围。应指出初中讲函数概念时，为便于接受未提出较为抽象的“定义域”的术语，而采用了较为通俗的“自变量的取值范围”的说法，对于两个对应法则相同的函数来说，如果定义域不同，应该被看作是不同的函数，在中学阶段，所研究的函数通常都是能够用解析式表示的，这时函数的定义域通常是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合，而对于实际应用问题来说，自变量所取的值还必须是实际问题本身所允许的。

值域是所有函数值组成的集合，它取决于定义域和对应法则，应该指出，初中讲函数时，限于要求未提及值域这一术语。

3．函数通常用符号f(x)表示，由于这个符号较为抽象，在初中讲函数时未出现这个符号，在讲函数的符号表示时，应说明几点：

y=f(x)，是表示y是x的函数，不是表示y等于f与x的乘积；

f(x)不一定是一个解析式；

f(x)与f(a)是不同的。

4．函数主要有三种表示方法：解析法、列表法和图象法。

解析法是用解析式来表示函数关系，在中学所研究的主要是这类函数，有了解析式，可以明了变量间的关系，并求出相应于任意自变量的函数值。

列表法是用列表来表示两个变量间的函数关系，事实上，平方表、平方根表、三角函数表等都是用列表法来表示函数关系的。这种方法的优点是不必计算即可看出两个变量的值之间的对应关系，但在自变量取值较多时，难以将两个变量的对应数值—一列出。

图象法是用图象表示两个变量间的函数关系，其优点是直观形象，但对函数关系的表示显得较为粗

略。

应该指出，以上表示函数的三种方法具有互补性、因此在实际研究函数时，通常是三种方法交替使用，例如在研究用解析式表示的某一函数的性质时，通常取其自变量的部分值，根据解析式算出相应的函数值，列表显示其数值的对应关系，再据此在平面直角坐标系中描点，最后将这些点连成曲线，形成该函数的图象。

5．由于在中学里主要研究自变量连续变化的较为简单的函数，在表示定义域和值域时常用到区间的概念，关于几种区间的意义及其符号表示，应要求学生理解，避免用错。

为了表示某些区间，课本中还引进了“无穷大”的概念及其符号表示，应向学生强凋，无穷大是一个符号，而不是一个具体的数。

三、教学过程

1．复习提问

初中学习的函数概念是怎样定义的？

初中学过哪些函数？

2．新课讲解

接上面的复习提问讲映射观点下的函数概念，并对两种定义进行对比，通过对比，使学生初步获得以下印象：新定义涵盖了原定义，但比原定义更一般、更抽象；表示一般函数对应法则，初中未出现专用记号，而这里出现了专用记号f(x)等；初中提到的自变量的取值范围，这里改用更为抽象的“定义域”的说法；这里提到函数的“值域”而初中回避了这一提法。

在讲函数记号f(x)时，应强调它不是指f与x的乘积；函数除可用符号f(x)表示外，还可用g(x)，φ(x)等表示。

3．课堂练习

做本小节后“练习”第1题

4．新课讲解

讲“函数的表示法”

由于函数的三种表示法学生在初中都接触过月在复习的基础上展开新课。

应说明，每种表示法部有其优点，采用哪种表示法要由具体问题来定，而且通常是几种表示法一起并用。

讲“区间”的概念及其表示。

重点讲清区间的开闭、端点、“无穷大”记号等问题。

5．课堂小结

函数的概念，运动变化观点下的定义与映射观点下的定义；

函数的三个要素：对应法则、定义域、值域；

函数的三种表示法：解析法、列表法。图象法；

区间的有关概念：开闭、端点、无穷大记号等。

四、布置作业

1．阅读相关课文

2．习题2.1A第1题