一、抛物线及其标准方程的教材分析

　　1.抛物线及其标准方程的地位和作用

　　平面解析几何“抛物线及其标准方程”一节内容主要是抛物线的概念和抛物线标准方程(有四种形式)，这是继椭圆、双曲线之后的又一重要内容，有着广泛的应用，也是学习微积分的基础。根据抛物线定义推出的标准方程，也为以后用代数方法研究抛物线的几何性质和实际应用提供了必要的工具和基础。因此，它是圆锥曲线这章的重要知识点。

　　2.抛物线及其标准方程的教育功能分析

　　抛物线作为点的轨迹，标准方程的推出过程充满了辩证法，处处是数与形之间的对照、翻译和相互转换。而要得到标准方程，必须适当建立坐标系，抛物线作为“无心”的二次曲线(圆、椭圆、双曲线都是有心的二次曲线)，方程对坐标系的依赖关系有其独特的地方。抛物线标准方程的结构和形式不仅依赖于坐标系的选择，还依赖于焦点和准线间的相互位置关系，这是抛物线标准方程有四种形式而不是两种形式的内在原因(椭圆、双曲线只有两种形式的标准方程)。因此，抛物线标准方程的推导是培养辩证唯物主义观点的好素材。

　　3.教学重点与难点

　　教学重点是:根据抛物线定义推导标准方程；事物间的联系，转化观点；分类的思想方法。

　　教学难点是四种形式的标准方程的由来和区分；启发学生心理潜能，培养学生的心理素质。

　　二、教学目标

　　1.知识目标

　　掌握抛物线定义，明确焦点和准线的意义；掌握抛物线标准方程；会推导抛物线标准方程，掌握Ｐ的几何意义，掌握四种形式的标准方程的数形特点，并会简单的应用。

　　2.能力目标

　　通过抛物线概念和标准方程的学习，培养学生分析、抽象和概括等逻辑思维能力，提高适当建立坐标系的能力，提高数形间对照、翻译和转换能力。逐渐形成事物运动、变化、相互联系和转化的观点，学习用辩证唯物主义观点分析问题，认识问题。

　　3.情感目标

　　启发调动学生积极参与教学活动，培养良好的学习习惯。通过概念和标准方程的学习，培养实事求是、勇于探索、严密细致的科学态度；通过提问、讨论、思考解答等教学活动，树立自信、自强，培养坚强的意志和锲而不舍的精神。

　　三、教学过程

　　1.引入

　　“初中时我们学过二次函数，它的图象是抛物线。什么是抛物线?抛物线的标准方程是怎样的?这就是今天学习研究的课题。”(在教学的开始，提出学生已有认识与当前研究课题的认知冲突，引起他们的注意和兴趣，调动他们的学习欲望)教师板书课题“抛物线及其标准方程”。

　　为唤起学生对抛物线的直观形象，为学习概念和推导方程作准备，提问:求抛物线ｙ=ｘ²和ｙ=-ｘ²+1的开口方向、顶点坐标和对称轴。

　　为了加深对抛物线的认识，教师操纵微机，屏幕顺序显示下列图形:

　　1)一定点Ｆ和一定直线ｌ；

　　2)任意一点Ｍ(和Ｆ、ｌ同在一个平面)，它到Ｆ的距离等于它到直线ｌ的距离；

　　3)点Ｍ运动起来，总保持它到定点Ｆ的距离等于它到定直线ｌ的距离；当点Ｍ运动到Ｍ₁时，再次显示Ｍ₁到Ｆ的距离等于它到定直线ｌ的距离；

　　4)点Ｍ接着运动，直到画出一条“完整”美观的曲线。

　　教师问:在点Ｍ运动过程中，点、直线、距离中哪些在变化?有哪些不变化?

　　点Ｍ的位置在变化，它到点Ｆ的距离在变化，它到直线ｌ的距离也在变化；点Ｆ和直线ｌ的位置不变，点Ｍ到点Ｆ的距离总等于它到定直线ｌ的距离不变。

　　学生动手，把观察和感知到的图形画在笔记本上。

　　概括抛物线的本质，让学生仿照椭圆、双曲线的定义，给抛物线概念下定义，教师板书抛物线定义。

　　教师指出，定义都是充要的，凡是平面上的任意一点到一定点的距离等于它到一定直线的距离，这些点组成的平面曲线肯定是抛物线；另一方面，抛物线上的任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离。

　　2.推导抛物线标准方程

　　①由曲线求方程，需要建立平面直角坐标系。怎样适当建立坐标系呢?

　　学生思考后可能说:以过焦点Ｆ且垂直于准线ｌ的直线为ｘ轴，以焦点Ｆ为坐标原点建立平面直角坐标系。也可能说:以ｘ轴与准线ｌ的交点Ｋ为坐标原点。教师顺水推舟，推出抛物线方程ｙ²=2ｐｘ+ｐ²或ｙ²=2ｐｘ-ｐ²。这样推导出的方程右边含有常数项ｐ²或-ｐ²，这说明什么呢?学生们说:这说明抛物线不经过坐标原点，如果以抛物线与ｘ轴的交点为坐标原点建立坐标系，就不会有常数项了。教师接着问学生:抛物线与ｘ轴的交点在什么位置呢?在ＫＦ的中点位置，因为中点到焦点的距离等于它到准线ｌ的距离。

　　教师再次明确以过焦点Ｆ且垂直于准线ｌ的直线为ｘ轴，以ＫＦ的中点为坐标原点建立平面直角坐标系，并示范推出抛物线第一种形式标准方程ｙ²=2ｐｘ(ｐ>0)。

　　强调Ｐ的几何意义:Ｐ表示焦点到准线的距离，焦点Ｆ的坐标是(ｐ/2，0)，准线ｌ的方程为ｘ=-ｐ/2。

　　②焦点Ｆ与准线ｌ的相对位置还有以下三种情况:

　　让学生分成三大组，分别推导这三种情况下的抛物线方程。教师巡视，辅导启发学习有困难的学生建立坐标系和推导标准方程，然后让三个中等生报告如何建立坐标系和推导出的抛物线标准方程以及相应焦点的坐标、准线方程；然后用投影仪在屏幕上显示标准方程、图形、焦点坐标和准线方程。

　　3.四种形式标准方程以及相应抛物线图形的分类和区分仿照椭圆、双曲线标准方程及其图形的分类，请一位学习较好的学生说出分类的想法:一类抛物线是焦点在ｘ轴上(ｙ²=2ｐｘ，ｙ²=-2ｐｘ)；另一类抛物线是焦点在ｙ轴上(ｘ²=2ｐｙ，ｘ²=-2ｐｙ)。

　　每一类抛物线又各分为两种:焦点在ｘ轴上的抛物线分为焦点在ｘ轴正向和ｘ轴负向上的两种(或说成开口向右和开口向左)；焦点在ｙ轴上的抛物线分为焦点在ｙ轴的正向和ｙ轴的负向上两种(或说成开口向上和开口向下)。两类抛物线都有一个共同点:焦点和准线的位置恰好“对称”地配置在坐标轴的两侧(左右两侧或上下两侧)。

　　4.概念与标准方程的应用

　　投影屏幕显示一组练习题:

　　①已知抛物线上一点Ａ到焦点的距离等于6，那么点Ａ到准线的距离等于多少?

　　②抛物线ｘ²=-4ｙ的焦点到准线的距离等于多少?

　　③求抛物线ｙ²=2ｘ的焦点和准线方程。

　　④已知抛物线的焦点Ｆ(-3，0)，求抛物线标准方程。

　　⑤已知抛物线上一点Ａ(ｍ，-3)到焦点的距离等于5，如果ｍ≠0，求抛物线标准方程。

　　⑥求抛物线ｙ=ｘ²-2ｘ+3的焦点坐标和准线方程，并验证抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离。

　　①～④是本节内容的直接应用，要求全体学生完成；第⑤题需考虑到有两种情形且有用定义简化计算的技能，要求多数学生(2/3)完成；第⑥题需用以前的平移知识，供有余力的学生选作。

(责任编辑　周新民)

(摘自：《天津教育》1999年第9期)