一、学习目标

　　1.理解排列的意义；

　　2.了解排列数公式的意义，掌握排列数公式的结构特点，并能用它进行计算，其中对抽象符号表示的排列数的认识以及对含有符号的式子的变形和论证是需要攻克的难点；

　　3.能用排列的知识解决一些简单的应用性问题，这是本节的重点内容。

　　二、知识网络

　　三、要点精析

　　1.排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序”。“一定顺序”表示与位置有密切关系，这里的位置应该视具体问题的性质和条件来决定。如，从1，2，3三个数中每次取出两个不同的数相乘，问有多少个不同的积；如果相除，问有多少个不同的商。在这里，前者就不需要考虑“顺序”，这里由乘法的交换律所得，而后者必须考虑谁作分子、分母的“顺序”问题。

　　2.排列定义中指出的是一个排列，而不是所有的排列。对于两个排列来讲，只有当元素完全相同且元素排列顺序也完全相同时，才是相同的一个排列。元素不完全相同或元素完全相同而排列顺序不完全相同的排列，都不是同一个排列。

　　3.在排列定义中，如果m<n(每次只取出一部分元素)，这样的一个排列叫做选排列。如果m=n(每次取出全部元素，这样的一个排列叫做全排列。

　　4.排列数概念可以从集合的角度进行理解。例如，从a，b，c这3个不同元素中任取2个的排列数的问题，就是集合A={ab，ba，ac，ca，bc，cb}的元素个数问题，显然card(A)=6。这里，由排列的定义知，集合A中的元素ab和ba应视为不同元素。

　　5.对于排列数公式，应注意以下几个方面：(1)m，n∈N*且m≤n；(2)公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比前面一个因数少1，最后一个因数是n-m+l，共m个因数相乘；(3)教材中公式的推导采用不完全归纳法，由特殊到一般，每一种情形都是以分步计数原理为依据，采用了分步解决的思想方法。另外，在推导公式时，为了使问题更直观，建立了“一个排列”与“一种填法”的一一对应关系，这种模型化方法解排列应用问题时经常用到；(4)对于排列数公式的另一种形式：，主要有两个作用：一是当m，n较大时，可使用科学计算器快捷地算出结果；二是对含有字母的排列数的式子进行变形和论证时，常使用此公式。

　　6.排列问题常见题型和解法有：

　　(1)没有限制条件的排列问题，可直接根据排列数公式求解，但要分清是全排列还是选排列，防止重复和遗漏。

　　(2)含有限制条件的排列问题，解题的关键是解决好特殊元素(或位置)的排列，通常从以下三种途径考虑：①元素分析法：先考虑特殊元素要求，再考虑其他元素；②位置分析法：先考虑特殊位置要求，再考虑其他位置；③整体排除法：先算出不带限制条件的排列数，再减去不满足限制条件的排列数。

　　四、特别提示

　　1.要分清“排列”和“排列数”这两个不同概念，一个排列是指从n个不同元素中，任取m个元素，按照一定顺序排成一列的一种具体排法，它是具体的形式，而不是数；而排列数是从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，即排列共有多少个不同的形式，它是一个数，其公式为=n(n-1)(n-2)·…·(n-m+1)，其中m，n∈N*且m≤n，解题时要特别注意这个隐含条件。

　　2.排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且取出m个元素也各不相同。即教材研究的是相异元素不可重复的排列。如果每个元素可重复选取，就成了相异元素可重复的排列，这种排列只需用分步记数原理就可得排列数是n^m，因为在一个排列的每个位置上都有n种选取元素的方法。

　　3.解答排列应用题时，要注意以下几点：

　　(1)仔细审题，明确题目中的事件是什么，可以通过什么样的程序来完成这个事件，进而选相应的模型计算，不能乱套公式，盲目计算；

　　(2)明确问题的限制条件，注意特殊元素和特殊位置，必要时可画出框图或树图帮助思考；

　　(3)由于排列应用题中的各种情况比较复杂，单纯用排列知识不能解决问题，应结合分类计数原理和分步计数原理来分析，合理地进行分类或分步，通过讨论来解决问题；

　　(4)对于有限制条件的较为复杂的问题，通常有正向思维和逆向思维两种思路。正向思维时，要设法将较复杂的问题进行分解后直接求解；逆向思维时，先求不带限制条件的所有情况，再排除不符合限制条件的情况。

来源：中学生学习报*数学周刊(高二版)/2004年/04月/10日/第001版/