一、学习目标

　　1.正确理解相互独立事件、独立重复试验的概念，会运用定义判定某些事件之间是否相互独立。

　　2.了解相互独立事件的意义，会用相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率。

　　3.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率。

　　4.了解n次独立重复试验里，某事件A恰好发生k(k=0，1，2，……，n)次的概率P_n(k)组成离散型随机变量的二项分布。

　　二、知识网络

　　三、要点精析

　　1.相互独立事件

　　(1)相互独立事件

　　概念：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响，则称A与B是相互独立事件。

　　(2)概念辨析如果事件A对事件B独立，那么事件B对事件A也独立。即事件的独立是一种相互对等的性质，如果事件A对事件B独立，那么就可以说事件A与B相互独立。

　　(3)拓宽加深两事件A与B相互独立，则A与、与B、与也都两两相互独立。

　　(4)疑点突破

　　“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，虽然都是两个事件之间的关系，但“互斥事件”不能同时发生；“相互独立事件”是一个事件的发生与否对另一个事件的发生的概率没有影响，二者不能混淆。

　　2.相互独立事件同时发生的概率乘法公式

　　(1)若A与B相互独立，则事件：A与B同时发生(记作A·B)的概率公式

　　P(A·B)=P(A)·P(B)。

　　(2)正确理解A·B

　　A·B中的点不宜省略；A·B表示这样一个事件，它的发生表示A与B同时发生。

　　(3)公式推广(可推广到n个情形)

　　若事件A₁、A₂、…、A_n相互独立。则这n个事件同时发生的概率为

　　P(A₁·A₂·…·A_n)=P(A₁)·P(A₂)·…·P(A_n)。

　　(4)拓展加深

　　事件A与B(不一定互斥)中至少有一个发生的概率可按下式计算：P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A·B)，特别地，当事件A与B互斥时，P(A·B)=0。

　　1-P(A)·P(B)表示两个相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率，因为A·B与是一对对立事件，表示事件A、B同时发生的反面，也就是独立事件A、B中至少有一个不发生。又P(A·B)+P()=1，所以1-P(A·B)=P()，从而得到1-P(A)·P(B)表示相互独立事件A、B中至少有一个不发生的概率。

　　3.独立重复试验

　　(1)独立重复试验概念：独立重复试验，又叫贝努里(瑞士数学家和物理学家)试验，是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验。

　　(2)独立重复试验的特征

　　该种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的。

　　(3)难点突破

　　判断是否是独立重复试验的关键是每次试验事件A的概率不变，并且每次试验的结果与其他各次试验的结果无关，重复指实验为一系列的试验，并非一次试验，而是多次。

　　(4)n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率

　　如果在1次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立的重复试验中这个事件恰好发生k次的概率记作P_n(k)，则。

　　(5)n次独立重复试验里，某事件A恰好发生k(k=0，1，……，n)次的概率P_n(k)，组成离散型随机变量的二项分布。

　　对，

　　如果令Q=1-P，利用二项展开式，得

　　。

　　这样P_n(k)是(P+Q)ⁿ展开式中的第k+1项，故叫做二项分布式。

　　4.抽签有先有后，一般来说对各人还是公平的

　　通过对教材的阅读，我们看到在n张票中有1张奖票，n个人每人抽到奖票的概率为1／n；在n张票中有2张奖票，n个人每人抽到奖票的概率为2／n；……由此我们可以分析得出：抽签时顺序虽然有先有后，但只要不让后抽人知道先抽人抽出的结果，那么各个抽签者中签的概率是相等的，也就是说，抽签顺序不同不影响抽签的公平。

　　四、总结提炼

　　1.上一节学习的“互斥事件”和本节学习的“独立事件”是不同的两个概念，要注意区分它们的相同点和不同点，对今后解题大有帮助。

　　2.互相独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这同互斥事件的概率和不同。

　　3.相互独立事件的概率计算，常与互斥事件的概率计算综合运用，同时还要注意利用对立事件的概率关系简化计算。

　　4.独立重复试验在实际问题中是很多的，研究独立重复试验，计算n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率，在理论和实践上都十分有用，应加以重视。

来源：中学生学习报*数学周刊(高二版)/2004年/05月/29日/第001版/