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免费河北省2018年中考总复习《7.2点直线与圆的位置关系》精讲试题含分类汇编解析第二节点、直线与圆的位置关系,河北五年中考命题规律)年份 题号 考查点 考查内容 分值 总分2017 23(1) 切线的性质 以线段的旋转为背景，考查扇形与直线的相切及相关证明 5 52016 25 半圆与点线相切 圆的操作探究题涉及切线性质 10 102015 26 圆与矩形综合探究 在26题压轴题考查学生运用圆的有关知识解决问题的能力 14 142014 25(2)(3) 切线的性质 (1)利用切线的性质以及折叠的性质；(2)求折叠的长度；(3)折叠后相关角度的范围 5 52013 24(2) 切线的性质 与三角形结合，涉及线段旋转及切线性质的相关计算 4 4命题规律 纵观河北近五年中考，点、直线与圆的位置关系，一般设置1道题，分值4～14分，考查题型以解答题为主，综合性考查，多以残缺圆为背景，难度大.,河北五年中考真题及模拟)切线的性质与判定1．(2017保定中考模拟)如图，∠ACB＝60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为(C)A．2πB．4πC．23D．42．(2016河北中考)如图，半圆O的直径AB＝4，以长为2的弦PQ为直径，向点O方向作半圆M，其中P点在AQ︵上且不与A点重合，但Q点可与B点重合．发现：AP︵的长与QB︵的长之和为定值l，求l；思考：点M与AB的最大距离为________，此时点P，A间的距离为________；点M与AB的最小距离为________，此时半圆M的弧与AB所围成的封闭图形的面积为________；探究：当半圆M与AB相切时，求AP︵的长．(结果保留π，cos35°＝63，cos55°＝33)图①解：发现：如图①，连接OP，OQ，则OP＝OQ＝PQ＝2.∴∠POQ＝60°，∴PQ︵的长＝60π·2180＝2π3，∴l＝12π·4－2π3＝4π3；图②思考：3；2；32；π6－34；探究：半圆M与AB相切，分两种情况：①如图②，当半圆M与AO切于点T时，连接PO，MO，TM.则MT⊥AO，OM⊥PQ.在Rt△POM中，sin∠POM＝PMPO＝12，∴∠POM＝30°，OM＝3.在Rt△TOM中，OT＝（3）2－12＝2，∴cos∠AOM＝OTOM＝63，即∠AOM＝35°，∴∠POA＝35°－30°＝5°，图③∴AP︵的长＝5π·2180＝π18.②如图③，当半圆M与BO切于点S时，连接QO，MO，SM.由对称性，可得BQ︵的长＝π18，由l＝4π3，得AP︵的长＝4π3－π18＝23π18.综上所述，AP︵的长为π18或23π18.,中考考点清单)点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)1.位置关系,点在圆内,点在圆上,点在圆外数量(d与r)的大小关系,__d＜r__,__d＝r__,__d＞r__直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)2.位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,__d＞r__,__d＝r__,__d＜r__切线的性质与判定3．判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有__唯一公共点__的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．4．切线的五个性质：①切线与圆只有__一个__公共点；②切线到圆心的距离等于圆的__半径__；③切线垂直于经过切点的__半径__；④经过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；⑤经过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．切线长定理5．经过圆外一点作圆的切线，这点与__切点__之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．三角形的外心和内心6．三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到__三角形三个顶点的距离__相等．7．三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到__三角形三边的距离__相等．【方法点拨】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．3．直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a，b是Rt△ABC的两条直角边，c为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R＝c2；(2)直角三角形的内切圆半径r＝a＋b－c2.,中考重难点突破)点与圆和直线与圆的位置关系【例1】⊙O的半径为8，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与⊙O的位置关系是(D)A．相切B．相交C．相离D．不能确定【解析】利用点与直线的位置关系判断．【答案】B1．在同一平面直角坐标系中有5个点：A(1，1)，B(－3，－1)，C(－3，1)，D(－2,－2)，E(0，－3)．画出△ABC的外接圆⊙P，并指出点D与⊙P的位置关系．解：所画的⊙P如图所示；由图可知⊙P的半径为5，连接PD.∵PD＝12＋22＝5，∴点D在⊙P上．切线的性质及判定【例2】(2016廊坊二模)如图，在△ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E.过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE.(1)求证：直线DF与⊙O相切；(2)若AE＝7，BC＝6，求AC的长．【解析】(1)连接AD，OD.由AB＝AC，得∠B＝∠ACB，由直径得∠ADC＝90°＝∠BFD；由等角的余角相等得∠ODF＝∠BFD，得到∠ODF＝90°，证得相切；(2)连接CE，分别在Rt△AEC和Rt△BCE中求得CE2，得方程求得AC的长．【答案】解：(1)如图，连接AD，OD.∵AC为直径，∴∠ADC＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵DF⊥AB，∴∠BFD＝90°.∵OC＝OD，∴∠ACB＝∠ODC，∴∠ODA＝∠BDF.∵∠ADC＝∠ODC＋∠ODA＝90°，∴∠ODC＋∠BDF＝90°，∴∠ODF＝90°，∴直线DF与⊙O相切；(2)如图，连接CE.∵AC为直径，∴∠AEC＝90°.设半径为r，则AC＝2r.在Rt△AEC中，CE2＝AC2－AE2＝4r2－49.在Rt△BCE中，BE＝2r－7，CE2＝BC2－BE2＝36－(2r－7)2＝－4r2＋28r－13，∴4r2－49＝－4r2＋28r－13，∴8r2－28r－36＝0，∴2r2－7r－9＝0，解得r＝4.5或r＝－1(舍去)，∴AC＝2r＝9，∴AC的长为9.2．(益阳中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点，若∠P＝40°，则∠D的度数为__115°__．,(第2题图)),(第3题图))3．(哈尔滨中考)如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接OC，BE.若AE＝6，OA＝5，则线段DC的长为__4__．4．(2016沧州九中二模)如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.(1)求证：直线PB与⊙O相切；(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4，求弦CE的长．解：(1)过点O作OD⊥PB于点D，连接OC.∵AP与⊙O相切，∴OC⊥AP.又∵PO平分∠APB，∴OD＝OC，∴PB是⊙O的切线；(2)过点C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝OC2＋CP2＝5.∵S△OCP＝12OC·CP＝12OP·CF，∴CF＝125.在Rt△COF中，OF＝OC2－CF2＝95，∴EF＝3＋95＝245.在Rt△CFE中，CE＝CF2＋EF2＝1255.教后反思________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________第二节点、直线与圆的位置关系1．(潍坊中考)如图，在平面直角坐标系中，⊙M与x轴相切于点A(8，0)，与y轴分别交于点B(0，4)和点C(0，16)，则圆心M到坐标原点O的距离是(D)A．10B．82C．413D．241,(第1题图)),(第2题图))2．(衢州中考)如图，已知等腰△ABC，AB＝BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过D作⊙O的切线交BC于点E，若CD＝5，CE＝4，则⊙O的半径是(D)A．3B．4C.256D.2583．(2016保定一模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E.则AD为(B)A．2.5B．1.6C．1.5D．1(第3题图)(第4题图)4．(泰安中考)如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD.已知PC＝PD＝BC.下列结论中，正确的个数为(A)①PD与⊙O相切；②四边形PCBD是菱形；③PO＝AB；④∠PDB＝120°.A．4个B．3个C．2个D．1个5．(上海中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC上，CD＝3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是(B)A．1<r<4B．2<r<4C．1<r<8D．2<r<8(第5题图)(第6题图)6．已知：如图，半圆O的直径AB＝8，Rt△CDE中，∠D＝90°，CD＝8，A，B，D，E在同一条直线上，BD＝3，DE＝6.(1)半圆O向右平移__3或11__时，CD与半圆相切；(2)半圆O向右移8或__9＜x≤17__时，直线CE与半圆O只有1个交点．7．(龙岩中考)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝1，OA＝2，求AC的值．解：(1)连接OC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO，又∵∠ACD＝∠B，∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝∠OCA＋∠BCO＝∠ACB＝90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；(2)∵AD⊥CD，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，又∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2＝AD·AB＝1×4＝4，∴AC＝2.8．(台州中考)如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P，Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是(C)A．6B．213＋1C．9D．32,(第8题图)),(第9题图))9．(攀枝花中考)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝5，D为BC边的中点，以AD上一点O为圆心的⊙O和AB，BC均相切，则⊙O的半径为__67__．10．(衡阳中考)如图，AB是⊙O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证：CE为⊙O的切线；(2)判断四边形AOCD是否为菱形？并说明理由．解：(1)连接OD.∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠BOC＝12∠BOD，又∠BAD＝12∠BOD，∴∠BOC＝∠BAD，∴AE∥OC.∵AD⊥EC，∴OC⊥EC，∴CE为⊙O的切线；(2)四边形AOCD是菱形．理由如下：∵点C，D为半圆O的三等分点，∴∠AOD＝∠COD＝60°.∵OA＝OD＝OC，∴△AOD和△COD都是等边三角形，∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD，∴四边形AOCD是菱形．11．(天津中考)在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．(1)如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；(2)如图②，D为AC︵上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．解：(1)连接OC.∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP＝90°.∵∠CAB＝27°，∴∠COB＝2∠CAB＝54°，在Rt△OCP中，∠P＋∠COP＝90°，∴∠P＝90°－∠COP＝36°；(2)∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO＝90°.在Rt△AOE中，∵∠EAO＝10°，∴∠AOE＝90°－∠EAO＝80°，∴∠ACD＝12∠AOD＝40°.∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P＝∠ACD－∠CAP＝30°.12．(兰州中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线AD交BC边于D.以AB上某一点O为圆心作⊙O，使⊙O经过点A和点D.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若AC＝3，∠B＝30°.①求⊙O的半径；②设⊙O与AB边的另一个交点为E，求线段BD，BE与劣弧DE所围成的阴影部分的图形面积．(结果保留根号和π)解：(1)直线BC与⊙O相切．理由：连接OD.∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.∵∠BAC的平分线AD交BC边于D，∴∠CAD＝∠OAD，∴∠CAD＝∠ODA，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，即OD⊥BC.又∵直线BC过半径OD的外端，∴直线BC与⊙O相切；(2)①设OA＝OD＝r，在Rt△BDO中，∠B＝30°，∴OB＝2r.在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝6，∴3r＝6，解得r＝2；②在Rt△ACB中，∠B＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形ODE＝23π.S△BDO＝12·OD·BD，由(1)知∠ODB＝∠ACB＝90°，∴△BOD∽△BAC，∴ODAC＝BDBC，即BD＝23，∴S△BDO＝12·23·2＝23，∴所求图形面积为：S△BOD－S扇形ODE＝23－23π.13．(泰州中考)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．解：(1)AB是⊙O切线.理由：连接DE，CF.∵CD是直径，∴∠DEC＝∠DFC＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠DEC＋∠ACE＝180°，∴DE∥AC,∴∠DEA＝∠EAC＝∠DCF.∵∠DFC＝90°，∴∠FCD＋∠CDF＝90°.∵∠ADF＝∠EAC＝∠DCF,∴∠ADF＋∠CDF＝90°，∴∠ADC＝90°，∴CD⊥AD,∴AB是⊙O切线；(2)由(1)可知，∠CPF＝∠CPA，∠FCP＝∠CAP，∴△PCF∽△PAC,∴PCPA＝PFPC，∴PC2＝PF·PA.设PF＝a.则PC＝2a,∴4a2＝a(a＋5),∴a＝53，∴PC＝2a＝103.14．(张家界中考模拟)如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C.(1)求证：CT为⊙O的切线；(2)若⊙O半径为2，CT＝3，求AD的长．解：(1)连接OT.∵OA＝OT，∴∠OAT＝∠OTA.又∵AT平分∠BAD,∴∠DAT＝∠OAT，∴∠DAT＝∠OTA，∴OT∥AC.又∵CT⊥AC，∴CT⊥OT，∴CT为⊙O的切线；(2)过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，又∵CT⊥AC，∴OE∥CT，∴四边形OTCE为矩形．∵CT＝3，∴OE＝3.又∵OA＝2，∴AE＝OA2－OE2＝22－（3）2＝1，∴AD＝2AE＝2.15．(2017考试说明)在图①和图②中，半圆O的直径AB＝2，点P(不与点A，B重合)为半圆上一点．将图形沿BP折叠，分别得到点A，O的对称点A′，O′.设∠ABP＝α.(1)当α＝15°时，过点A′作A′C∥AB，如图①，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；(2)如图②，当α＝________°时，BA′与半圆O相切，当α＝________°时，点O′落在PB︵上；(3)当线段BO′与半圆O只有一个公共点B时，求α的取值范围．解：(1)A′C与半圆O相切．如图，分别过点A′，O作A′H⊥AB于点H，OD⊥A′C于点D.∵A′C∥AB，∴A′H＝OD.∵α＝15°，∴∠A′BH＝30°，∴OD＝A′H＝12A′B＝12AB＝1.∴A′C与半圆O相切；(2)45；30；(3)∵点P，A不重合，∴α＞0°.由(2)知，当α增大到30°时，点O′在半圆上，∴当0°＜α＜30°，点O′在半圆内，线段BO′与半圆只有一个公共点B.由(2)知，α增大到45°时，BA′与半圆相切，即线段BO′与半圆只有一个公共点B.当α继续增大时，点P逐渐靠近点B，但点P，B不重合，∴α＜90°.∴当45°≤α＜90°时，线段BO′与半圆只有一公共点B.综上所述，α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°.