一、对数学解题的基本认识

1、重要性

作为数学教育任务的解题与数学家的解题既有联系又有区别。美国数学家哈尔莫斯认为：“数学家存在的主要理由就是解问题，数学的真正的组成部分是问题和解”.对于职业数学工作者来说，“题”是研究的对象，“解”是研究的目标，解题是其数学活动的基本形式和主要内容，也是其自身的存在目的和兴奋中心。而对数学教学而言，不仅要把“题”作为研究的对象，把“解”作为研究的目标，而且也要把“解题活动”作为对象，把学会“数学地思维”、促进“人的发展”作为目标。解题在数学学习活动中有其不可替代的重要作用：（1)解题是数学学习的核心内容；（2)解题是掌握数学，学会“数学地思维”的基本途径；（3）解题是评价学习的重要方式。

2、基本问题

（l）作为数学教育的数学解题理论需要回答两个基本问题：①怎样解题？②怎样学会解题？波利亚《怎样解题》一书直接提出了第①个问题，也在努力回答第②个问题。但我国传统数学教学既未直接提出这些问题，也未正面回答这些问题，表现为一种默会知识的内隐学习，或有意无意地将其简单化为“模仿＋练习十数学事实的接受”。

(2)以上两个基本问题触及数学教育的3个基本矛盾：一是数学与教育的矛盾。数学教育学应是一门具有数学特征的教育学科，数学是前提，教育是本质；解释数学解题首先要有数学特点，区别于物理解题、化学解题、语文解题、历史解题；同时又要体现教育特点，有别于纯粹数学形式的运演并应进人心理层面。二是综合性与独立性的矛盾。数学教育学应是一门具有综合性的独立学科，数学解题广泛涉及数学教育观、数学知识、心理活动、思维方法、计算机技术等，表现为多学科的交叉；同时又不是这些相关学科内容的简单相加，而是有机融合后相对独立的实体。三是实践性与理论性的矛盾。数学教育学应是一门具有实践性的理论学科，解题首先是一种实践活动。波利亚说：“你想学会游泳，你就必须下水，你想成为解题的能手，你就必须去解题。”弗里德曼也说：“寻找解题不能教会，而只能靠自己学会。”数学教学的最终成果之一，应使学生会解题。但是实践不能流于盲目或简单重复，需要理论来做指导。为什么学校里会有这么多的数学后进生？原因可能是多方面的，但与我们对数学解题的思维规律认识不清有关，与解题理论尚未完善或尚未发挥指导作用有关。

(3)长期以来，解题活动存在一些弊端。①用现成的观点说明现成的例子，或用现成的例子说明现成的观点；②长期徘徊在一招一式的归类上，缺少理论上的提高或实质性的突破，有时候，只是解题方法的简单堆积或解题技巧的神秘出现；③多说“这样解”，少说或不说“为什么这样解”；④解题研究多停留在操作层面，未能深人到心理层面；⑤更关注现成、形式化问题的求解，对问题的“提出”和“应用”研究不足。因此，尽管解题有丰富的资料积累（还曾获IMO和IAEP的双料冠军），而公认具有中国特色的数学解题理论尚待创建。

3、理论建设

（1)要把解题理论建设为数学教育的一个独立分支，其标志应该是：①有自己独立的研究对象。数学解题理论的研究对象可以界定为“解题活动”，研究解题活动需要回答的基本问题是：怎样解题？怎样学会解题？②有自己独立的研究方法。一方面要对数学解题实践进行经验归纳，在实证基础上提炼理论；另一方面要对教育心理学做理论演绎，改造为有数学特征的行动指南。数学和心理学应是数学解题理论的两大支柱，这两个学科研究方法的综合，应产生对解题过程进行专业分析的特有方法。③有自己独立的概念体系和基本原理。解题研究已初步积累有趣、解题、解题过程、解题程序、解题力量、解题方法、解题策略、数学问题解决基本框架等成果，为理论建立奠定了基础。

(2)建立解题理论对其建设者有较高的要求，基本素质包括：①具备较宽厚的数学知识和较丰富的解题实践经验。②具备数学学习论的知识，掌握规范的心理学研究方法和工具，使得解题研究能够深人到心理层面。③具有数学教学的实践经验，并与学生有经常接触和直接交流的环境。没有课堂基础和学生基础，解题理论只能是上不着天、下不着地的“空中楼阁”。

二、解题概念的初步界定

1、数学题

（1)数学题（简称题）是指数学

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