研究数学史最主要的课题是了解一个观念或一支数学学门的发展过程，或者一个地区内、一段时间内的数学活动。但随着一股历史研究方向的多样化，许多人也尝试由不同的观点来看数学史。Crowe在《HistoriaMathematica》2(1975)发表的文章〈数学史中变革型态十律〉(ten"laws"concerningpatternsofchangeinthehistoryofmathematics)就是一个例子。在此我们想介绍Crowe所提的十律，并以他给的或者我们添加的例证，加以说明。

一、数学新观念往往不因创造者的刻意经营而产生，而是与其努力方向正好相反的副产品

十八世纪末的意大利数学家Saccheri为了证明欧氏几何是唯一的「真理」，从锐角假设出发，得出许多前所未闻的结果。殊不知他努力的结果，却使非欧几何学呈现一线曙光（注一）。Hamilton是另外一个例子，他看到二维的向量可以看成复数，和实数一样，可以做四则运算。所以他想在三维的向量中也引进四则运算。他奋斗了十几年，却毫无进展。直到有一天，灵光一现，放弃了乘法中交换律的要求，而创造了四元数（不是三维，而是四维）。

二、许多数学新观念虽然在逻辑上没有问题，但在其出现初期却遭到顽强的抗拒，要经过好一阵子方为大家所接受

不可共约比在两千多年前就出现了，但据说它的发现者Hippasus却遭到毕氏学派同门的放逐。解决不可共约比的实数观念一直要到十九世纪才为大家所接受。负数的平方根从1543年在Cardano公式中出现，直到1830年代，都是遭人詈骂，被人抗拒的对象。诡辩的、无聊的、无可理解的、虚幻的、不可能的等等，这些形容词都曾加在至今仍被称为“虚”数的身上（注二）。

三、许多新观念一时无法在逻辑上讲得清楚因而遭到抗拒，但由于其有用性，而使得数学家不得不容纳它们──纵使在很不情愿的情况之下

虚数当然是个最好的例子。向量的系数积与矢量积并不起于有意的发展，而是四元数的计算中习惯用法的延伸。集合论说有理数个数和自然数个数一样多，但又说实数个数比有理数个数还要多;无论是从包含的观点或从无穷多的观点来看，上述两种说法似乎互相矛盾。而且集合论的滥用，还会导出任谁都无法接受的真矛盾。但另一方面，有了集合论，许多数学叙述及推理变得更加言简意赅，无穷观念因而有了层次之分（并不是所有的无穷多都一样）。滥用引起不安，但好用却使人不得不接纳。

四、教科书中，许多数学领域之有条不紊的呈现，经常是该领域发展后期才有的，而且之所以走上严谨的道路，并不是创造者有意的寻求，而是不得不然耳

牛顿与莱布尼兹在乎的是发展微积分，并没给微积分立下严格的逻辑架构。他们一定不喜欢现今微积分课本的一丝不苟，甚至有些地方还看不懂呢！一般学生如果无法领会微积分的要意，往往会在它的逻辑问题上打转；学者对无穷小的攻击；学者希望微积分也像平面几何那样的有条有理。这些外在的因素才是促使微积分在十九世纪走向严格化的动力。严格的要求而且是渐近的。M.Kline曾说：“可能除了数论之外，在1800年之前，数学中没有那一分支所给的证明，以1900年的标准而言，是令人满意的，而1900年的标准，在今天也不适用了。”也许你会认为平面几何是个例外，其实直到1899年Hilbert才真正把其公理化做得彻底。

五、在同一个时期，数学家对数学知识的认定是多层的。一个数学家虽然不一定有明确的数学形上学观，但在他的作品中或在他的教学中就会有较明确的表白

二十世纪有所谓的直观学派、形式学派及逻辑学派之争。大多数的数学家不一定确属那一学派，但在其作品中有时可以看出来，他是比较赞同那一种观点。此外，我们对于一个领域、一个定理的内容、一个定理的证明，有时会加上漂亮的、丑陋的、有意思的、无聊的、好的、坏的等等形容词，这些都带有数学形上学的观点。

六、一个新的数学观念，其为人接受的程度，往往要看创造者的名气，尤其以打破传统的观念为然

Lobachevsky及Bolyai的非欧几何学，就像它们的作者一样默默无闻。Gauss死后，其有关非欧几何学的信件一经发表，这门新学问，才像Gauss生前的名声，一下子发展得红得发紫（注三）。

七、数学的创见往往在原来问题所限定的范围外成长。要突破自我设限却是件不容易的事

Hamilton认为他的四元数与微积分一样重要，是数学物理的主要工具。其实发明四元数的重要性不是四元数本身，而在于其影响代数的运算观念。在此之前，无论是实数或复数，四则运算都有其既定的规矩。四元数的乘法交换律不成立，使人逐渐觉悟运算的规矩可因需要而有不同的要求。这样向量代数的观念及运算才变成可能，而向量代数才是数学物理的主要工具之一。如此一来，代数学的观念与目的才变得更自由、更宽广。

八、好几个人同时而又独立地发现数学新观念，这是常态而不是例外

Descartes及Fermat的解析几何（注四），牛顿及莱布尼兹的微积分，Lobachevsky及Bolyai的非欧几何学（注五），Dedekind、Weierstrass及Cantor等人的实数理论都是耳熟能详的例子（注六）。

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