一、教材分析

微积分的出现，与其说是整个数学史，不如说是整个人类历史上的一件大事，它从生产技术和理论科学的需要中产生，同时又回过头来深刻地影响着生产和自然科学的发展。《定积分在几何中的应用》是本章第五节内容，题目本身就是强调应用，我所讲授的习题课更加突出了积分的应用意识；本节课不仅是使微积分理论在实际问题中得以应用，体现出数学的强大生命力和广泛的作用外，同时也是学生在高等学校进一步学习的基础。这也符合《大纲》中明确规定的使学生“形成用数学意识”的要求。

根据《大纲》的要求和本节课的地位，我认为本节课的重点是：“理解并掌握微积分思想方法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，并会用定积分求一些平面图形的面积”；同时“理解微积分思想方法”也是本节课的难点所在。

说它为重点是根据《大纲》的要求、它所处的历史地位和它应用的广泛性所决定的；说它是难点主要是因为这种思想方法不同于前面学习过的函数与方程思想、数形结合思想等基本的思想方法，在学生的头脑中并没有与之相联系的认知结构，只有将头脑中原有的认知结构加以改组和顺应；同时，从历史上看，人类从对微积分的认识到掌握微积分理论，经过了千年历史，所以在短短几节课内达到深刻理解这种思想方法，的确是不容易的，所以，它将成为本节的难点所在。

二、教学目标的确定

根据《大纲》的要求和本节所处的地位，我认为通过本节课的学习，应使学生达到

1、进一步理解微积分思想，会用“分割、近似代替、求和、取极限”的方法、步骤分析问题，从而培养学生的逻辑思维能力。

2、掌握用定积分求平面图形面积的方法，从而培养学生应用数学意识。

3、理解用极限的思想方法思考与处理问题，从而培养学生的创新意识。

4、引导学生学会联想、归纳、总结等思想方法。

5、在学习过程中，渗透对学生主动探索学习精神的培养。

三、教学方法和教学手段的使用

根据本节课内容的特殊性和学生的实际水平，我采用的是“问题教学法”，其主导思想是以启发式教学思想为主导，由教师提出一系列精心设计的问题，在教师的启发指导下，让学生自己去分析、探索，在探索过程中研究和领悟得出的结论，从而使学生即获得知识又发展智能的目的。

为什么要采用这种方法呢？①这种方法属于启发式教学，有利于学生知识的获得和能力发展。②这种方法即体现了教师的主导作用和学生的主体地位，它符合内因是变化的根据，外因通过内因而起作用的哲学原理。③这种方法也符合教学论中的传授知识与培养能力相结合的原则。

教学手段：多媒体计算机

通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生饶有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。

四、关于学法的指导

德国教育家斯多惠说：“一个坏教师奉送真理，一个好教师教人发现真理”，我深深体会到，必须在给学生传授知识的同时教给他们好的学习方法，就是说让他们“会学习”。

通过本节课的教学使学生“学会设疑、学会发现、学会尝试、学会联想、学会总结”。学习有得必有疑，只有产生疑问，学习才有动力，本节课共提出三个问题、一个思想方法、一个联想猜测；通过对它们的解决和处理，从中培养了学生发现问题、提出问题、分析和解决问题的能力。

提出问题后，鼓励学生通过分析、探索，尝试解决问题的方法，通过自己亲自尝试，学生的思维能力得到了培养，本节主要表现在“概念让学生自己去总结、规律让学生自己去探索、题目让学生自己去解决”。当然在教学过程中学生还潜移默化地学到了“发现法”、“模仿法”、“归纳法”等学习方法。

五、教学程序的设计

本节课在程序上分为“问题提出—历史介绍—方法讲解—模拟训练—联想猜测—研究发现—归纳总结—作业布置”等八个阶段。

1、问题提出

本节课将计算y=x2在〔0,1〕上的曲边梯形的面积，那么如何计算呢？心理学表明：思维从疑问开始，问题的提出使学生的思维得以启动，同时这个曲边梯形并不象正方形、长方形、圆、扇形等有现成的公式可以利用，它没有现成的公式可用，问题本身具有新鲜感和诱惑力，极大地引起了学生的兴趣，这样引入符合教学论中的激发性原则。

2、历史介绍

介绍300年前，牛顿、卡瓦列利、瓦里士等著名学者对这个问题的研究成果。使学生了解一下数学史，了解一下大科学家对这个问题本身的看法，由于学生的大科学家的崇拜，更加调动了学生的学习兴趣；同时，通过对科学家不畏艰难勇于探索事迹的介绍，也是对学生不怕困难刻苦学习精神的教育。这也符合教学论中思想性与科学性统一的原则。

3、方法讲解

由于微积分的发展完善经过了近千年历史，所以微积分思想方法不适合让学生在课上自己探索、发现、归纳、总结，即自学式；所以由教师利用多媒体计算机形象地模拟、演示、描述，使学生从感性上理解，再逐步上升到理性上的认识，这符合人们认识事物的一般规律，即先由感性认识再逐步上升到理性认识；同时计算机的直观形象的演示，也符合教学论中的直观性原则；极限理论与计算机的结合运用，使学生清楚地看到曲边梯形的面积由量变到质变的变化过程，这也符合事物的发展变化由量变到质变的哲学原理。

4、模拟训练

练习题目的设置，主要是为了强化本节课的重点，通过学生自己亲自尝试、体验，才能深刻理解“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法；对学困生来讲，这样才能打好基础，这样安排即符合教学论中的巩固性原则，也符合素质教育理论中面向全体的基本要求。

5、联想猜测

数学的发现和进展都是从联想猜测开始的，在经过几道题目的训练之后，对y=1/x2在〔0,1〕上曲边梯形面积为确定数值，那么在〔1,＋∞）上呢？有这样的猜测是正常的，因为在这之前学习数列知识时，遇到过这样的问题，即1/2+1/22+1/23+……，这无穷多个正数之和的结果却是1，因此通过对这个问题的联想之后，自然要对y=1/x2在〔1,＋∞）的面积提出猜测，这符合人们思维认识发展的一般规律，也符合数学发展的一般规律，同时也再次激发学生进一步学习的浓厚兴趣，学生也从中学到了联想、猜测的思想方法。

6、研究发现

类似于数列问题一样，也可利用极限工具来处理，方法确定之后，由师生共同探索，先研究y=1/x2在〔1,a〕上的曲边梯形面积，在让a→＋∞，即可得到y=1/x2在〔1,＋∞）上的面积，而y=1/x在〔1,＋∞）上却没有结果；从研究过程中，培养了学生的探索精神；这样处理使优秀学生的思路得以扩展，这也符合素质教育中面向全体的基本观点，使各类学生都有所发展。从结果上看y=1/x2在〔1,＋∞）上能够求出面积，而y=1/x在〔1,＋∞）上却没有结果，其规律并没有给出，实质上这是数学分析广义积分中的柯西法则和阿贝尔法则，这样处理，给学生留下悬念，为学生将来的发展做下铺垫，这符合教学论中的量力性原则和系统性原则。

7、归纳总结

完成了本节课的教学内容后，在教师的引导下，师生共同归纳总结，目的是让学生在头脑中更深刻更清晰地留下思维的痕迹，在此基础上，归纳出“分割、近似代替、求和、取极限”的微积分思想方法，同时师生共同总结，容易调动学生的学习积极性和主动参与意识，符合教学论中的激发性原则。

8、作业布置

通过本节课的教学内容，布置相应的作业，通过作业反馈本节课知识掌握的效果，以便下节课查陋补缺，这符合教学论中的程序原则和反馈原则。