人的思维是由问题引发产生的，而解决问题的关键在于思维起点的选择。一个问题引发

思维的起点是多样 的。当思维起点选择合理、准确时，解题就能得心应手；当思维起点偏

离时，解题就容易误入岐途，陷入繁杂 的计算无法自拔或走向死胡同。

    1.以基本概念、公式、法则为思维起点

    数学中的许多问题常是以概念、公式、法则的变形应用为基础来设计的。通过对问题的

分析，联想起相关 的要领、公式、法则，往往容易开启思维的大门。

    例1 把正确的答案序号填入括号中。31000除以1700的商是18，余数是（ ）［①4 ②

40 ③400］。 学生往往会选①，这是学生没有把握概念的本质特征造成的。学生在学习“商

不变规律”时将“所得的商不变 ”误解为“所得的结果不变”，正确的答案应该是③。

    1 1 1 1

    例2 计算9─＋1─÷─×9。计算时学生很可能先算─×9， 导致

    6 2 9 9

    错误，应要求根据法则进行合理的运算。

    以基本概念、公式、法则的联系为解题思维起点是优化解题的重要途径。

    2.以解题的目标为思维起点

    解题的目标是解题过程中思维的重要导向。解题时，常常要以目标作为思维的起点，从

中获取信息，寻找 捷径。一旦目标被抓住，思维方向就更明确、更具体，解题过程中的推

理就更有针对性。

    1 1

    例3 李林喝了一杯牛奶的─，再倒满水后， 又喝了这杯牛奶的─

    6 3

    ，再倒满水后又喝了半杯，又加满了水，最后把一杯都喝了。李林喝的牛奶多还是水多？

    分析 如果按照题中的问题，从喝的角度求水有多少，是一道很复杂的分数应用题。如

果改变目标从“喝 ”的反面“倒”进水有多少为思维起点，则问题变成了一道简单的分数

加法计算题。小林第一次把杯子

    1 1

    里的牛奶喝了─杯，第二次又喝了加满杯子的混合液体的─，所以第二

    6 3

    1 1 1

    次又倒进了─杯水；同样地第三次又倒进了─杯水，三次共倒进（─＋

    3 2 6

    1 1

    ─＋─＝）1。也就是说喝的牛奶和水同样多，都是1杯。

    3 2

    这种解题方法就是以解题目标为思维起点，通过解题目标的分析及各阶段性目标逐步推

进，使思维愈加明 确，难度也相应降低，直至问题解决。

    3.以合理假设为思维起点

    假设是数学解题中的一种常用的思维方法。有些问题直接由条件难以找到解题的突破

口，此时可通过合理 的假设，推出与已知条件相矛盾，然后进行适当的调整，得出问题的

结论。

    例4 松鼠妈妈采松果，晴天每天采20个，雨天每天采12个， 它一连8天共采了112

个松果。问这几天中晴 天、雨天各是多少天？

    分析 假设这8天全是雨天，则一共可采（12×8＝）96（个），比实际少了（112－96

＝）16（个），这是 因为把晴天每天采的20 个都当成了12个，从而可求出晴天的天数为

（16÷（20－12）＝）2（天），雨天为（ 8－2＝）6（天）。

    引入假设虽然可以促进思维的发展，但必须保证假设的合理性。既要保证解题的优化，

又要使解题过程完 整无误。

    4.以合理转化为思维起点

    思维起点的选择是建立在问题导入分析的基础上的。转化作为数学解题思维的重要策

略，有其独特的作用 。解题过程的实质通常就是对问题进行一连串的转化，进而达到求解

的探索过程，以恰当、合理的转化为思维 起点，对于打破常规、另辟蹊径有重要作用。

    例5 笼中有鸡、兔36只，共有100只脚，鸡、兔各多少只？

    转化1 假定36只都是鸡，则兔的只数为（100－2×36）÷（4 －2）＝14（只），鸡的

只数为36－14＝22 （只）。

    转化2 假定36只都是兔，则鸡的只数为（4×36－100）÷（4 －2）＝22（只），兔的

只数为36－22＝14 （只）。

    转化3 鸡都缩起一只脚，而兔都竖起了前脚， 仅用两只后脚着地，这时看脚只剩下50

只了，假定这时36 个头都是鸡，根据直觉思维，笼中有兔（50－36＝）14（只）；假定这

时36个头都是兔，根据直觉思维，笼中 有鸡（2×36－50＝）22（只）。

    由此可见，进行合理转化是觅得思维起点的有效途径。

    5.以问题中的“不变量”为思维起点

    在数学解题中抓住题目中的不变量，并将其作为思维起点，对于探索解决问题的方法，

简化解题十分有益 。

    3

    例6 甲、乙双方共有人民币若干元。已知乙的钱是甲的─， 如果

    7

    4

    甲给乙39元，那么乙的钱是甲的─，问乙原有人民币多少元？

    5

    分析 由题意可知，甲、乙两人的钱数不管怎样给，两人钱数的和

    3

    还是那么多，是不变量。于是，我们可由“乙的钱数是甲的─，得到甲、

    7

    乙两人钱数的总份数是（7＋3＝）10（份）”。这样，甲原有钱数占两

    7 3

    人钱数的─，乙的钱数占两人总钱数的─。同理“甲给了乙39元”后，

    10 10

    甲、 乙两人钱数的份数和为（4＋5＝）9份，甲的钱数占两人总钱数的

    5 7

    ─。这时可明显看出，“甲给乙39元”正好与甲、乙两人钱数和的（─

    9 10

    5 7 5

    －─）对应，即可求出甲、 乙两人原有总钱数为（39 ÷（─－─）＝）

    9 10 9

    3

    270（元），乙原有人民币为（270×─＝）81（元）。

    10

    此例解题的关键是抓住了“和不变”，并将其作为思维起点，达到了优化解题过程的目

的，使解题简化。