小Ｗ老师大学毕业后分配到一所中学任教，学校安排教学经验丰富的Ｈ老师与他结成对子。

他们切磋教学的方式之一是经常对某个教学中的问题进行交谈、对话、分析其理论依据。下

面整理的是他们关于教学难点认识的对话。Ｗ：Ｈ先生，最近，上级教育行政部门经常强调

要减轻学生过重的课业负担，其措施之一就是提高课堂教学效益。课堂教学中要突出重点，

突破难点，才能提高课堂教学效益。但在备课当中我们又往往容易把重点、难点混淆，好像

重点就是难点。对于这二者之间的区别和联系，您能否谈谈自己的看法。Ｈ：这个问题提得

好。在课堂教学中突出重点、突破难点是提高效益的关键，要做到这一点必须分清什么是教

学重点，什么是教学难点。

所谓教学重点，即是“在教材内容的逻辑结构的特定层次中占相对重要的前提判断”，也就

是“在整个知识体系或课题体系中处于重要地位和突出作用的内容。”如果某知识点是某知

识单元的核心或是后继学习的基石或有广泛应用等，即可确定它是教学重点。如义务教育数

学教材初中第一册第一章《代数式》，它的重点是字母代替数及代数式，因为这是整个代数

的基础，且对后继学习影响极大。所谓教学难点是指“学生学习过程中，学习上阻力较大或

难度较高的某些关节点”，也就是“学生接受比较困难的知识点或问题不容易解决的地方。”

它是由于学生原有的数学认识结构与学习的新知识之间不协调而产生的。比如字母代替数就

是一个教学难点。字母代替数后，字母就具有两重性———既确定、又任意（以后还可以代

替一个式），它与学生在小学学习具体数的运算所形成的数学认知结构极不协调，从而形成

教学难点。

Ｗ：是否可以这样认为，数学教学重点是由于数学知识内在的逻辑结构而客观存在的，因而

对每一位学生均是一致的。教学难点是由于学生原有数学认知结构与学习新内容之间的矛盾

而产生的，并且个体的数学认知结构不完全相同，因此会出现遭遇难点或在突破难点的速度

上的个别差异。

Ｈ：完全正确。正是由于重点与难点二者形成的依据不同，既是一致，又是不一致的。有的

内容既是重点又是难点，有的内容是重点但不一定会形成难点。同一知识点，对某些学生而

言是难点，对另一些学生而言又不是难点。比如，有理数的加法运算法则，既是这部分教学

内容的重点———它在有理数及代数式运算中起着承前启后的作用，又是难点———学生原

有的数学认知结构难以同化其法则。又如“不等式的性质”这一单元中，不等式的三条性质

都是教学重点———它们是解不等式的依据，但前两条性质与等式的性质类似，易于同化，

不是难点。而第三条性质即“不等式两边同乘一个负数，不等式的方向改变”则是本单元的

教学难点———学生原有的数学认知结构中还缺乏这样的经验。再如“一元一次方程的解法”

对大多数学生而言可能不是难点，但对少数学生而言，由于整式加减运算法则还没有完全纳

入自己的数学认知结构，因而可能仍是难点。通过教学，学生不但学会了一元一次方程的解

法，而且在解方程过程中，弥补了整式加减、有理数四则运算学习中之不足，使自己的数学

认知结构更加完善。

Ｗ：既然数学教学难点的产生与学生的认知结构有关，您能否再深入地剖析一下数学认知结

构，使我们能更清醒地对数学教学难点定位，为突破教学难点找准方向。

Ｈ：所谓数学认知结构，就是“人们头脑中的数学知识（经验）按照自己的理解的深度、广

度，结合自己的感觉、知觉、记忆、思维、联想等认知特点，组合成的一个具有内部规律的

整体结构”。可以用一个形象的比喻，就像物理学中的电尝磁场一样，数学认知结构就是人

的一种“数学潮，在数学学习中，外在的新的数学知识，经过“数学潮的作用，变成学生自

己的数学经验、意识———“数学潮的能量随之增大，即原有的数学认知结构扩充、完善，

这个过程在认知心理学上叫做同化或顺应。同化过程是把新知识纳入原有的数学认知结构，

从而扩大原有数学认知结构的过程，即对新知识进行教学法加工，使之与原有认知结构相吻

合。顺应是当新知识不能同化于原有的数学认知结构时，要改造数学认知结构，使新知识能

适应这种结构的过程，即对数学认知结构进行改造，以适应新知识学习的需要。一般来说，

实现同化比较容易，实现顺应则比较困难。

Ｗ：是否可以这样认为，学习中凡是需要通过顺应掌握的数学知识点，就是教学难点，凡是

需要通过同化而掌握的数学知识点可能是教学重点，但不一定是教学难点。

Ｈ：可以这样理解。因为数学学习的实质是“以符号语言为代表的新知识与学习者数学认知

结构中已有的适当知识（经验）建立非人为的和实质性的联系。”当学生原有的数学认知结

构中，一下子难以找到“适当”的知识（经验）时，必须改造数学认知结构，使之适应新知

识的需要。一般来说，改造认知结构都比较困难，因为认知结构也有一种定势，定势的消极

作用，阻碍认知的飞跃，从而造成学习新知识的困难，即形成教学难点。比如，在教学“平

行线分线段成比例定理”一节时，由于学生的数学认知结构中只有“夹在两平行线间的平行

线段相等”及“平行线等分线段”等经验，这都是对线段相等关系的认识，而“线段成比例”

实质上是线段不等关系（相等关系只是成比例的特例），造成认知上的困难。需要通过同化

学习的新内容，相对顺应而言，较易在原有的数学认知结构中找到“适当的知识（经验）”，

可比较顺利地建立“非人为的”、“实质性”的联系。这时认知结构中所形成的定势起着积极

的作用。因而一般不会出现教学难点（比如不等式的前两条性质）。应该指出的是，在一个

学习过程中，同化和顺应往往同时存在，只是侧重有别；况且由于学生个体的数学认知结构

的差异，即使同化也存在差异，有些需要同化的知识，对某些学生而言，仍可能会形成学习

难点。

Ｗ：您从数学认知结构入手认识教学难点对我启发很大。在教学中我有时会遇到这样的情形，

备课时我认为不是教学难点的地方，学生们却感到很困难，这是什么原因呢？

Ｈ：经过大专院校培养的数学教师，有比较系统的数学知识，他们的数学认知结构都比较完

善，对中学数学教材中的数学知识以及由这些知识反映的数学思想、方法早已成为其数学认

知结构的一部分。但是中学数学教材包括的数学知识及其思想方法对中学生而言是全新的，

有些内容当然是难的。正是由于师、生数学认知结构的差异，才会出现你所说的问题。如果

备课时，我们站在学生的角度去探索教材，就会比较准确地发现教学难点。在管理心理学上

叫做“角色换位”，这正是我们强调备课既要备教材也要备学生的理论依据，有些学历不是

很高的数学教师，教学效果很好，其中重要原因之一就是善于站在学生的角度去钻研教材，

因而与学生的数学认知结构十分贴近，这是值得我们学习的。特别是刚参加工作的青年教师，

与学生年龄接近，便于情感交流，“角色换位”很容易实现，是可以比较快地提高教学业务

水平的。

Ｗ：找准教学难点是为了在教学中突破难点。如何突破难点，我们理解是努力寻找学生数学

认知结构中某个与教学难点最接近的知识或经验作为“固着点”。由于数学教材是按其逻辑

顺序编写的，因此，总可找到“固着点”作为学生学习上的支撑，以实现顺应或同化。您能

否举一个例子，给予说明。

Ｈ：以“一元二次方程根与系数关系”为例。该单元教学难点有两个：一是为什么会想到用

一元二次方程的两根之和、两根之积的形式表示根与系数的关系；二是把两根之和、两根之

积作为一个整体应用于解答有关数学问题。第一个难点不解决好，虽然根据求根公式导出了

根与系数的关系，但这个关系式仍然难以纳入学生的认知结构，给应用造成困难，往往只能

是机械模仿。当然在模仿中，部分学生会产生顿悟———这是“根与系数关系”才开始成为

其数学认知结构中的一个组成部分。为了突破教学难点，我认为在寻求其“固着点”之前，

还应首先激活学生的认知动因。即创设教学情景，造成学生认知需要。本课可设计如下问题：

我们已经学习了求根公式，如果一个一元二次方程有实根，则根据求根公式可以求它的根。

反过来，如果某个一元二次方程的根为ｘ１、ｘ２，如何求出这个方程呢？以问题为教学出

发点，造成学生在迫切需要下学习的愿望，为突破教学难点作好了心理上的准备。接着即要

从知识“固着点”出发，为学生认知提供“物质”上的帮助。“一元二次方程根与系数关系”

中的教学难点之一是为什么会用两根之和、之积形式表示根与系数关系。教材是直接由求根

公式，求出ｘ１＋ｘ２、ｘ１·ｘ２的表达式，这主要是体现数学教材的简洁性，其实求根

公式并不是最佳的“固着点”。其最佳“固着点”是用因式分解方法解一元二次方程。如果

方程ｘ２＋ｐｘ＋ｑ＝０两根为ｘ１、ｘ２，根据因式分解方法，方程左边可以分解为（ｘ

－ｘ１）（ｘ－ｘ２），展开得ｘ２－（ｘ１＋ｘ２）ｘ＋（ｘ１ｘ２）。比较系数得到ｘ１

＋ｘ２＝－ｐ，ｘ１·ｘ２＝ｑ，较自然地把一次项系数与两根之积、二次项系数与两根之

和联系起来了。至于若ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的两根为ｘ１、ｘ２，把方程变形

为ｘ２＋ｂａｘ＋ｃａ＝０后即得出ｘ１＋ｘ２＝－ｂａ，ｘ１·ｘ２＝ｃａ。找准符号语

言表述之后，再回到课本上的证明，已是举手之劳了。其实求根公式也是根与系数关系的一

种表达形式，但两者对比之后，学生们发现用两根和、积的形式表示一元二次方程根与系数

关系更加体现了数学的简洁美、和谐美。至此第一个难点即被突破。

Ｗ：今天的谈话，对我帮助很大。最后，我觉得教学难点也有两重性。一方面它可能成为学

生学习上的分化点，另一方面又是学生智慧的开窍点。因此，找准教学难点，花力气突破教

学难点，既可以帮助学生克服畏难情绪，学会数学，又可以引导学生不断完善其数学认知结

构，会学数学，从整体上提高学生的数学素质与意识。

Ｈ：对极了。