今年四月份，我市小学生参加了第一届中国小学生“九章杯”数学竞赛。本文试对初赛

试题中的几道应用 题的解法，谈谈算术和方程两种解法的运用。

    例１．（初赛题第７小题）一次数学测验，六（１）班全班平均９１分，男生平均８９

分，女生平均９２ ．５分。这个班女生有２４人，男生有（ ）人。

    此题是一道与平均数有关的应用题，解题所用到的“总数＝平均数×总份数”知识学生

已学过。题中的等 量关系是：男生的总分＋女生的总分＝全班的总分。现给出它的方程解

法和算术解法，以比较它们的异同点， 从而沟通学生的解题思路。

    解法１（方程法）：设该班有男生ｘ人。列表分析如右表格。从表中关系易得方程：

    人数 平均分 总分

__________________________________________________________________男生 ｘ ８９

８９ｘ__________________________________________________________________ 女生

２４ ９２．５ ９２．５×２４

__________________________________________________________________全班 ２４＋

ｘ ９１ ９１（２４＋ｘ）

__________________________________________________________________

    ８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

    解得：ｘ＝１８

    答：男生有１８人。

    解法２（算术法）：分析：全班平均９１分，是全班的男女生所得成绩通过移多补少的

法则而得到的，即 把女生高于平均分的成绩，补给低于平均分的男生后，才彼此相等的。

由此列算式：

    （１）女生高于全班平均分的总分是多少？也就是男生需要补给的总分。

    （９２．５－９１）×２４＝３６（分）

    （２）男生平均低于全班平均分的是多少？

    ９１－８９＝２（分）

    （３）男生共有多少人？

    ３６÷２＝１８（人）。

    列综合算式：（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

    答：（略）。

    将以上两种解法进行比较，对所列方程使用同解方程的变形，可得如下算式：

    ∵ ８９ｘ＋９２．５×２４＝９１（２４＋ｘ）

    ８９ｘ＋９２．５×２４＝９１×２４＋９１ｘ

    ９１ｘ－８９ｘ＝９２．５×２４－９１×２４

    ｘ（９１－８９）＝（９２．５－９１）×２４

    ∴ ｘ＝（９２．５－９１）×２４÷（９１－８９）

    从中可清楚看到：

    （１）两种解法用到的数量关系和基础知识是相同的，都需要分析已知量和未知量，找

出其中的相互关系 ，其主要区别在于解题思路不同。

    （２）算术解法除用到数量关系“总分＝平均分×总人数”之外，还用到“总人数＝总

分÷平均分”这一 形式，列式时需要进行逆向思考。用算术解法，思维要深刻一些，即认

识到某个团体中的平均成绩是通过该团 体中的个体移多补少而得到的，其思路较曲折复杂。

    （３）算术解法中的综合算式实际上与未知数在等式一边已基本解出的方程基本相似，

只通过数的四则运 算就可得到答案，相对于解方程的运算要简单容易一些。

    （４）列方程解题，由于未知数ｘ作为一个已知量参加列式和运算，较易找出已知与未

知间的相等关系列 出方程，一般不需要逆向思考，解题思路较简捷清楚。

    例２．（初赛题第１７小题）商店以每双６．５０元购进一批凉鞋，售价每双８．７０

元，当卖剩１／４ 时，不仅收回了购进这批凉鞋所付出的款，而且已获利２０元，这批凉

鞋有（ ）双。

    这是一道商品买卖中有关价格的应用题，所用到的基础知识“单价×数量＝总价”学生

是相当熟悉的。本 题中的等量关系是：商店售出这批鞋总量的（１－１／４）双所得款减

去购进这批鞋的款等于２０元。

    解法１（方程法）：设这批凉鞋有ｘ双。

    分析：商店购进这批凉鞋的款是６．５０ｘ元，商店已售出的凉鞋是（１－１／４）ｘ

双，得款８．７０ ×（１－１／４）ｘ。由题意得方程：

    ８．７０×（１－１／４）ｘ－６．５０ｘ＝２０

    解得：ｘ＝８００

    答：这批凉鞋有８００双。

    解法２（算术法）：

    分析：这批凉鞋售价每双８．７０元，只售出总量的（１－１／４）双，这就相当于这

批鞋全部售出，实 际每双售价８．７０×（１－１／４）。这是解答本题的关键之处，受到

方程解法所列方程的启示，运用乘法 交换率而得到，直接理解颇为困难。要使学生通过这

个思维的障碍，可以出一些铺垫性小题，加以引导启发。 （１）有１００双鞋，每双售价

１０元，当卖剩１／４时，共卖了多少元？（２）有１００双鞋，每双售价１ ０元，而实

际售价每双少卖原售价的１／４，问这批鞋全部售完共卖了多少元？（３）比较以上两题答

案，你 可得出什么结论？因此，卖出的鞋买进卖出的差价是：８．７０×（１－１／４）

－６．５０。这批鞋总获利 ２０元，即全部售出后的前后差价总数是２０元，所以可得综

合算式：

    ２０÷［（１－１／４）×８．７０－６．５０］

    计算出答案与方程解同。

    比较本题两种解法，可以明显看到，算术解法的思维要比方程解法曲折复杂得多。因而

对于一些复杂的应 用题，为达到顺利解题的目的，要提倡学生首先用方程解题。

    从以上两个例题，我们还可以看出：对于复杂的应用题，采用方程解法要优于算术解法。

但也不能一概而 论，对具体的题目要具体分析，有些应用题，采用算术解法更快更直接。

    例３．（初赛题第１２小题）一条绳子第一次剪掉１米，第二次剪掉剩余部分的１／２，

第三次剪掉１米 ，第四次剪掉剩余部分的２／３，第五次剪掉１米，第六次剪掉剩余部分

的３／４，这条绳子还剩１米。这条 绳子原长（）米。

    这种类型的题学生是常见的，但很少会遇到剪得这么多次的情形。其等量关系是：一条

绳长减去前后剪过 六次的长等于１（米）。

    解法１（方程法）：设这条绳子原长ｘ米。由题意得：

    第一次剪掉后剩下：ｘ－１（米），

    第二次剪掉后剩下：ｘ－１－１／２（ｘ－）米，

    ……

    第六次剪掉后剩１米，列出方程为：

    ｘ－１－１／２（ｘ－１）－１－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］－３／４｛ｘ

－２－１／２（ｘ －１）－２／３［ｘ－２－１／２（ｘ－１）］｝＝１

    解得：ｘ＝３３

    答：这条绳子原长３３米。

    这是一个多么繁琐冗长的方程，解起来相当麻烦，看来单纯用方程解此题是不太方便的。

    解法２（算术法）：

    分析：这条绳子共剪过六次，从前往后考虑问题，障碍重重，越来越难。可是我们用“逆

推法”倒过来想 ，从最后的结果出发，依次往前推，就能顺利地列出算式：

    （１）第六次剪掉之前绳长是：１÷（１－３／４）＝４（米）

    （２）第四次剪掉之前绳长是：（４＋１）÷（１－２／３）＝１５（米）

    （３）第二次剪掉之前绳长是：（１５＋１）÷（１－１／２）＝３２（米）

    （４）第一次剪掉之前绳长即原绳长是：３２＋１＝３３（米）

    列综合算式为：｛［１÷（１－３／４）＋１］÷（１－２／３）＋１｝÷（１－１／２）

＋１

    答：（略）。

    通过以上三例分析，不难看出，算术和方程两种解法对于复杂的应用题，使用起来难易

各有差别，但实质 上是可沟通的。九年义务教育小学数学教学大纲指出：小学高年级学生

要进一步提高用算术方法和用方程解应 用题的能力。老师们在教学中两种解法都应该让学

生掌握。用算术解法，符合小学生的认识水平，是小学数学 解题的基本方法，虽然解某些

应用题麻烦些，但借此正好锻炼学生，以发展他们的思维；用方程解法，通过设 未知数，

化未知为已知，易于找出题目中的等量关系，从而提高解题的效率，也为学生进入中学的学

习奠定了 基础；两种解法交替使用，或合理选用，能使学生解题思路更加开阔，大大提高

他们的解题能力。

    （责任编辑 柯梦）