旧题新意
作者:佚名 来源:本站整理 发布时间:2008-8-12 8:34:58
[前言]
作为新教材改革的一个重要特征,在高中数学引进了平面向量,给中学数学带来了广阔的天地,无论在平面、立体、解析几何都有着大大拓宽解题思路与方法的重要作用。向量融“数”、“形”于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,因此不少中学平面几何问题总是往往可用向量的适当形式表示,转化并加以解决。笔者尝试运用向量的优越性解决中学阶段几个重要的定理与性质。
[正文]
根据平面向量基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时可以先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算,很容易得出结论。向量是有“形”的量,研究向量不能离开其图形。结合图形,比较直观地揭示其几何意义,这种分析判断是最重要的方法与技巧。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。
一、根据向量用向量法来证明平面直角问题时,恰当使用向量的加、减法运算以及两垂直向量的数量积为零等性质,能达到化繁为简的目的。
例1、 证明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
已知Rt△ABC,∠A= 。求证:
证明:
例2、 证明直角三角形的中线是斜边的一半。
已知Rt△ABC,∠A= ,AD为斜边BC上的中线。
求证AD= BC。
证明:
例3、已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点。求证:EF= (AD+BC)
证明:
注:用向量证明未必能达到简化解题过程的效果,但它却为我们的中学数学带来了无限生机,向量成了中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介。
二、根据两非零向量的数量积证明三角形的垂心、重心。
例4、 如图:AD,BE,CF是△ABC的三条高。求证:AD、BE、CF相交于一点。
证明:
设AD与BE相交于O,下证点O在高CF上。
例5、证明三角形的三条中线交于一点
本题可用平面几何知识加以证明,但用平面向量的方法证明也会得到简洁的解题思路。
已知:⊿ABC,AD,BE,CF分别是三角形的三条中线,求证:三中线交于一点G。
证明:
同理,设AD与CF相交于一点 , 用同样的方法可证得
∴
注:这里充分利用向量的共线、平面基本定理,证明了三角形的三条中线相交于一点,简洁巧妙。
三、根据两非零向量的数量积巧证射影定理。
例6、
同理可证:
下证
评析:初中证明射影定理是主要用到两相似三角形对应边成比例这一性质。但向量的介入,却可以利用两向量垂直的数量积为零此性质,能够很好地融入初中几何有关直角问题的解题思维中。
四、 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数之间的关系,把向量的数量积应用到三角形中,就能解决三角形的边角之间的有关问题。例如新教材里,用向量积运算证明正弦定理、余弦定理,在这用向量也可巧证两角差的余弦。
例7、求证:
证明:如图,在单位圆上取点 ,使∠ = ,∠ = ,则∠ =
评析:利用单位圆来研究三角函数的几何意义时,表示三角函数的三角函数线其实就是向量,由于用向量解决问题时常常从建立向量三角形入手,因此这使向量在三角里发挥了重要的作用。
例8、已知△ABC中 ,
分析:已知三角形两边与夹角求三角形面积可用 本题关键是将 用 表示出来。由于 ,可通过平方关系 来求解。
证明:
注:这个面积公式应用于已知三角形三个顶点求三角形面积的问题,计算量较小,较方便。
五、 小结
一般地,利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直等问题;运用实数与向量的积则可以证明共线、平行、长度等问题。毫不夸张地说,向量的数形迁移思想在中学数学中能得到绝妙体现。
作为新教材改革的一个重要特征,在高中数学引进了平面向量,给中学数学带来了广阔的天地,无论在平面、立体、解析几何都有着大大拓宽解题思路与方法的重要作用。向量融“数”、“形”于一体,具有几何形式与代数形式的“双重身份”,因此不少中学平面几何问题总是往往可用向量的适当形式表示,转化并加以解决。笔者尝试运用向量的优越性解决中学阶段几个重要的定理与性质。
[正文]
根据平面向量基本定理,任一平面直线型图形中的线段都可以表示为某些向量的线性组合,这样在证明几何命题时可以先把已知和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算,很容易得出结论。向量是有“形”的量,研究向量不能离开其图形。结合图形,比较直观地揭示其几何意义,这种分析判断是最重要的方法与技巧。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。本文着重谈谈向量在中学几何解题中的应用。
一、根据向量用向量法来证明平面直角问题时,恰当使用向量的加、减法运算以及两垂直向量的数量积为零等性质,能达到化繁为简的目的。
例1、 证明直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
已知Rt△ABC,∠A= 。求证:
证明:
例2、 证明直角三角形的中线是斜边的一半。
已知Rt△ABC,∠A= ,AD为斜边BC上的中线。
求证AD= BC。
证明:
例3、已知四边形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点。求证:EF= (AD+BC)
证明:
注:用向量证明未必能达到简化解题过程的效果,但它却为我们的中学数学带来了无限生机,向量成了中学数学知识的一个交汇点,成为联系多项内容的媒介。
二、根据两非零向量的数量积证明三角形的垂心、重心。
例4、 如图:AD,BE,CF是△ABC的三条高。求证:AD、BE、CF相交于一点。
证明:
设AD与BE相交于O,下证点O在高CF上。
例5、证明三角形的三条中线交于一点
本题可用平面几何知识加以证明,但用平面向量的方法证明也会得到简洁的解题思路。
已知:⊿ABC,AD,BE,CF分别是三角形的三条中线,求证:三中线交于一点G。
证明:
同理,设AD与CF相交于一点 , 用同样的方法可证得
∴
注:这里充分利用向量的共线、平面基本定理,证明了三角形的三条中线相交于一点,简洁巧妙。
三、根据两非零向量的数量积巧证射影定理。
例6、
同理可证:
下证
评析:初中证明射影定理是主要用到两相似三角形对应边成比例这一性质。但向量的介入,却可以利用两向量垂直的数量积为零此性质,能够很好地融入初中几何有关直角问题的解题思维中。
四、 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数之间的关系,把向量的数量积应用到三角形中,就能解决三角形的边角之间的有关问题。例如新教材里,用向量积运算证明正弦定理、余弦定理,在这用向量也可巧证两角差的余弦。
例7、求证:
证明:如图,在单位圆上取点 ,使∠ = ,∠ = ,则∠ =
评析:利用单位圆来研究三角函数的几何意义时,表示三角函数的三角函数线其实就是向量,由于用向量解决问题时常常从建立向量三角形入手,因此这使向量在三角里发挥了重要的作用。
例8、已知△ABC中 ,
分析:已知三角形两边与夹角求三角形面积可用 本题关键是将 用 表示出来。由于 ,可通过平方关系 来求解。
证明:
注:这个面积公式应用于已知三角形三个顶点求三角形面积的问题,计算量较小,较方便。
五、 小结
一般地,利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直等问题;运用实数与向量的积则可以证明共线、平行、长度等问题。毫不夸张地说,向量的数形迁移思想在中学数学中能得到绝妙体现。
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