来源:不详 作者:佚名 更新时间:2006-03-17 09:36:37
计算机可以帮助我们思维,几何画板就是一个观察数学现象的“望远镜”.最近,朋友要我用几何画板表现一个点的轨迹,欣然从命.问题是:
设点P是抛物线x2=y上任意一点,经过点P的切线与双曲线xy=2相交于点M、N,表现线段MN的中点Q的轨迹.
我把x2=y改为x2=2py(p>0),把xy=2改成xy=n(n≠0).
一、制作过程
(1)打开“新绘图”,建立坐标轴.把原点的标签改为O,把单位点的标签改为数字1.
(2)在y轴的正半轴上取一点F.“度量”点F的坐标.分离F的纵坐标“yF”.计算“2*yF”,用文本编辑工具把“2*yF=”改为“p=”.隐藏点F的坐标以及纵坐标.
(3)把x轴标记为反射“镜面”,把点F依x轴反射得到点F'.
(4)过点F'作y轴的垂线(直线j).在直线j上任意画一点D.过点D作直线j的垂线(直线k).用线段连结FD.作线段DF的垂直平分线(直线m).
(5)点击直线k与直线m的交点处,作出直线k与直线m的交点P.
(6)同时选择(主动)点D、(被动)点P,并选择“作图”菜单中的“轨迹”,作出点P的轨迹,即抛物线x2=2py(p>0).直线m就是经过点P的抛物线的切线.
(7)隐藏直线j、直线k,线段DF以及它的中点,隐藏点F'.
(8)在x轴的负半轴上画一点G.过点G作x轴的垂线(直线n),在直线n上画一点H.“度量”点H的坐标,分离点H的纵坐标,用文本编辑工具把点H的纵坐标改为n.
(9)隐藏直线n,隐藏点H的坐标.用线段连结H、G.隐藏点G的标签.
(10)在x轴上任意画一点I.度量点I的坐标,分离出点I的横坐标“xI”.计算“”.
(11)先后选择“xI”、“”并选择“图表”菜单中的“绘制点(x,y)”,绘制出点J(xI,).
(12)同时选择点I、J,并选择“作图”菜单中的“轨迹”,作出函数y=的图象.隐藏点I、J,隐藏点I的坐标以及点I的横坐标,隐藏计算值“”.
(13)“度量”点P的坐标(x0,y0).
因为直线m的方程为p(y+ y0)= x0x,与xy=n联立,得到x0x2-py0x-pn=0.解得 x1=,x2=.
(14)计算x1=,计算y1=.绘制点M(x1,y1).点M必定在双曲线xy=n上.
(15)计算x2=,计算y2=.绘制点N(x2,y2).点N必定在双曲线xy=n上.
(16)用线段连结MN.作出线段MN的中点Q.
(17)同时选择点(主动)D、(被动)点Q,并选择“作图”菜单中的“轨迹”,作出线段MN的中点Q的轨迹.Q的轨迹是一条抛物线的一部分.
(18)隐藏不必要的计算值.
二、偶然的发现
我在点Q的轨迹上任意取一点C,度量出点C的坐标(xC,yC).然后计算出,再计算,发现=-8.拖动点H,改变n的值;拖动点F,改变p的值,反复观察.这个关系总不变.
结论:设点P是抛物线x2=2py(p>0)上任意一点,经过点P的切线与双曲线xy=n相交于点M、N,线段MN的中点Q的轨迹(抛物线的一部分)方程为x2=-2qy(q>0),且恒有p=8q,与n( n≠0)的取值无关. 图1
三、必然的结果
如图1,抛物线x2=2py(p>0)上经过P(x0,y0)的切线方程为x0x=p(y+y0).
与xy=n联立,消去y,得x0x2-py0x-pn=0. ①
设Q的坐标为(x,y).由于点Q是MN的中点,所以x==.代入x0x=p(y+y0)得p y0=4x2-py,而x0=4x,点P(x0,y0)在抛物线x2=2py(p>0)上,即有x2=-py.
由方程①根的判别式△>0,得p2y+4pnx0>0,于是有4x4+pnx>0.x的取值范围满足:n>0时,x∈{x|x>0或者x<-};n<0时,x∈{x|x<0或者x>-}.
设2q=p,有p=8q.
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