几何画板帮助我思维

    计算机可以帮助我们思维，几何画板就是一个观察数学现象的“望远镜”．最近，朋友要我用几何画板表现一个点的轨迹，欣然从命．问题是：

设点P是抛物线x2=y上任意一点，经过点P的切线与双曲线xy=2相交于点M、N，表现线段MN的中点Q的轨迹．

我把x2=y改为x2=2py（p>0），把xy=2改成xy=n（n≠0）．

一、制作过程

　 （1）打开“新绘图”，建立坐标轴．把原点的标签改为O，把单位点的标签改为数字1．

　 （2）在y轴的正半轴上取一点F．“度量”点F的坐标．分离F的纵坐标“yF”．计算“2*yF”，用文本编辑工具把“2*yF=”改为“p=”．隐藏点F的坐标以及纵坐标．

　 （3）把x轴标记为反射“镜面”，把点F依x轴反射得到点F'．

　 （4）过点F'作y轴的垂线（直线j）．在直线j上任意画一点D．过点D作直线j的垂线（直线k）．用线段连结FD．作线段DF的垂直平分线（直线m）．

　 （5）点击直线k与直线m的交点处，作出直线k与直线m的交点P．

　 （6）同时选择（主动）点D、（被动）点P，并选择“作图”菜单中的“轨迹”，作出点P的轨迹，即抛物线x2=2py（p>0）．直线m就是经过点P的抛物线的切线．

　 （7）隐藏直线j、直线k，线段DF以及它的中点，隐藏点F'．

　 （8）在x轴的负半轴上画一点G．过点G作x轴的垂线（直线n），在直线n上画一点H．“度量”点H的坐标，分离点H的纵坐标，用文本编辑工具把点H的纵坐标改为n．

　 （9）隐藏直线n，隐藏点H的坐标．用线段连结H、G．隐藏点G的标签．

　 （10）在x轴上任意画一点I．度量点I的坐标，分离出点I的横坐标“xI”．计算“”．

　 （11）先后选择“xI”、“”并选择“图表”菜单中的“绘制点（x，y）”，绘制出点J（xI，）．

　 （12）同时选择点I、J，并选择“作图”菜单中的“轨迹”，作出函数y=的图象．隐藏点I、J，隐藏点I的坐标以及点I的横坐标，隐藏计算值“”．

　 （13）“度量”点P的坐标（x0，y0）．

因为直线m的方程为p（y+ y0）= x0x，与xy=n联立，得到x0x2－py0x－pn=0．解得 x1=，x2=．

　 （14）计算x1=，计算y1=．绘制点M（x1，y1）．点M必定在双曲线xy=n上．

　 （15）计算x2=，计算y2=．绘制点N（x2，y2）．点N必定在双曲线xy=n上．

　 （16）用线段连结MN．作出线段MN的中点Q．

　 （17）同时选择点（主动）D、（被动）点Q，并选择“作图”菜单中的“轨迹”，作出线段MN的中点Q的轨迹．Q的轨迹是一条抛物线的一部分．

　 （18）隐藏不必要的计算值．

二、偶然的发现

我在点Q的轨迹上任意取一点C，度量出点C的坐标（xC，yC）．然后计算出，再计算，发现=－8．拖动点H，改变n的值；拖动点F，改变p的值，反复观察．这个关系总不变．

结论：设点P是抛物线x2=2py（p>0）上任意一点，经过点P的切线与双曲线xy=n相交于点M、N，线段MN的中点Q的轨迹（抛物线的一部分）方程为x2=－2qy（q>0），且恒有p=8q，与n（ n≠0）的取值无关．　　　　　　　　　图1

三、必然的结果

如图1，抛物线x2=2py（p>0）上经过P（x0，y0）的切线方程为x0x=p（y+y0）．

与xy=n联立，消去y，得x0x2－py0x－pn=0．　　　　 ①

设Q的坐标为（x，y）．由于点Q是MN的中点，所以x==．代入x0x=p（y+y0）得p y0=4x2－py，而x0＝４x，点P（x0，y0）在抛物线x2=2py（p>0）上，即有x2=－py．

由方程①根的判别式△>0，得p2y+4pnx0>0，于是有4x4+pnx>0．x的取值范围满足：n>0时，x∈{x|x>0或者x<－}；n<0时，x∈{x|x<0或者x>－}．

设2q=p，有p=8q．