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求解圆锥曲线中“范围问题”的策略
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增大字体求解圆锥曲线中“范围问题”的策略
衡阳县一中 胡隆卫
圆锥曲线的范围问题是高考命题的热点,确定圆锥曲线的某种量的取值范围问题，涉及面广，综合性强，条件大多比较隐蔽，因而许多学生对求解此类问题感到困难。发现参数之间的不等量关系是解决此类问题的关键。下面谈一谈解决此类问题的策略。
一、从圆锥曲线的存在范围出发，产生不等量关系,确定参数的取值范围。
【例1】已知椭圆 （a>b>0）的左顶点分别为A，B，如果椭圆上存在点P使
∠APB=1200,求椭圆离心率e的取值范围.
分析:题中|x|≤a,|y|≤b是求参数取值范围的出发点.
解:由对称性,不妨设点P(x1,y1)在x轴上方,则∠APB是PA到PB的角,且它们的斜率分别为k1= , k2= 从而tan∠APB= ,
又x12-a2= 所以tan∠APB= 由条件tan∠APB=
所以 = ，y1= 又∵0〈y1≤b，所以 ≤b
两边平方得4a2（a2-c2）≤3c4，所以（e2+2）（3e2-2）≥0
所以e≥ ,即椭圆离心率e的取值范围为[ ,1].
二﹑从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。
【例2】已知椭圆的一个顶点为A（0，-1）焦点在x轴上，且右焦点到直线x-y+2 =0
的距离为3，若在y轴上截距为b的直线L与该椭圆交于不同两点M，N。当|AM|=|AN|时，试求b的取值范围。
解：易得椭圆方程为 ，
据条件知L的斜率存在，设其方程为y=kx+b代入
椭圆方程消去y得：
（1+3k2）x2+6bkx+3（b2-1）=0，①
∵有两个交点，所以 =12(3k2-b2+1)>0
即3k2-b2+1>0 ②
设M(x1,y1),N(x2,y2)直线MN中点为P(x0,y0),
所以x0= y0=kx0+b= ,又|AM|=|AN| ,
所以KAP=- ,即 3k2+1=2b
将此式代入②得0<b <2,又2b=3k2+1≥1且易验证k=0时适合题意,
故b≥ ,所以b的取值范围是[ ,2].
三﹑ 利用点与曲线的位置关系，产生不等量关系,确定参数的取值范围。
【例3】 求使抛物线c：y=ax2-1(a≠0)上有不同的两点关于直线l： 对称的实数a的取值范围。 教育论文在线 http://www.lw26.com
解 设点 在抛物线c上，且点A和点B关于直线l对称，则有
（2）-（1）得 ，
将（3）代入即有 （5）
将（5）代入（4）得。
∴弦AB的中点坐标为 。∵弦AB的中点在抛物线c的内部，∴ ，解之得 或a<0（与题设不合，舍去），故 。
四﹑利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式,确定参数的取值范围.
【例4】设双曲线C: 与直线l:x+y=1相交于两个不的点A﹑B，求双曲线C的离心率e的取值范围.
解:由C与l相交于不同的点，知方程组 有两个不同的实数解，消去y并 x+y=1
整理得:(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,由 1-a2≠0
△=4a4+8a2(1-a2)>0
解得 且a≠1,双曲线C的离心率 ∵ 且a≠1 ∴ 且 即双曲线C离心率e的取值范围为
五、从圆锥曲线的内蕴性质中，挖掘不等量关系,确定参变量的取值范围
【例5】已知双曲线以直线x+1=0为右准线，离心率为2，且过点P（1，0），求此双曲线实轴长的取值范围。
解：设双曲线的中心为M，实轴A1A2交右准线于N，由几何性质知：双曲线右支上点到右准线距离最小值为|A2N|，而点P（1，0）在右支上且它到右准线距离为2，
故必有|A2N|≤2，所以a- ≤2。
∵e=2即c=2a，知a ≤2 a≤4故实轴长取值范围为（0，8）。
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