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中学数学的研究方法和课题
作者：佚名 来源：本站整理 发布时间：2008-8-12 8:41:03
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增大字体 一所学校、一个县、乃至一个地区，要在国内的教育界有一定的知名度，关键是要有一批有一定知名度的教师。
一个比较优秀的教研组，应该有一支不同层次，不同特色的教师队伍。她包括：各年级的教学人材；毕业班的把关教师；学科竞赛的教练员、辅导员；教改探索、实践与总结方面的人材；教育教学理论研究方面的人材；等等。
每一个教师都应该形成自己的特色和教学风格。她包括：
师德方面：师生情感应该是非常融洽，其关系应该是非传统意义上的师生关系；与同事的关系应该是朋友式的，教学方面应该是相长的；与领导的关系不应该“你是领导，我是群众” ——一种领导与被领导的关系；……,总之，师德是一个教师成为好教师的首要条件。
修养方面：由于每个人受教育的环境、程度不同，加之遗传因素，每个人的修养也会各不相同。但作为一个好教师，应该具备很好的修养。例如：有些教师教学水平等各方面都不错，但就是看不起比他差一些(仅仅是某些方面)的人，其结果，往往是自己把自己孤立起来，与同事、领导的关系处理不好；也有一些人，做了一些事，生怕人家不知道，总要想尽办法让大家知道；还有一些人，也很认真地工作，但一边做工作，一边哇啦哇啦地发牢骚。其结果，在领导、同事心目中，“你好什么”——功过对消，甚至还过头些；…… 这些人往往修养较差。要知道这在社会主义初级阶段的中国是非常要紧的。
教学方面：上课特别清晰、风趣幽默；板书特别有条理，字写得特别漂亮；组织课堂教学的能力特别强；教学方法的选择运用有独到之处；教学手段的使用高人一筹；教材的挖掘比别人深；能根据概念课、习题课、复习课等不同课型进行非常有效的教学(如概念课的开头很有特色，习题课的选题特别典型，思维过程的分析特别好，复习课的归纳高人一筹)；等等。
解题方面：解题能力特别强，能解一般教师解不出的题目；解题特别仔细，能将一般教师不易想到的各个方面，各种情况都能考虑到。
研究方面：很有文采，文章写得很好；能够把一个特殊的问题推广到一般的情况；能从一些个别的题目中，总结出对一类问题有普遍指导意义的结果、方法；能有计划、有准备地进行课题研究；等等。
要求每位老师都成为“全材”是不科学也是不实际的，但要求每个老师至少擅长于一、二个方面或更多的方面，并有所成就，是应该且也是能够做到的。
今天，结合自已在教学研究方面的工作，和大家谈谈：
中学数学的研究方法和课题
方 法 篇
教师的工作，归纳起来是二个方面：一是教书育人；二是教学研究。对于多数教师来说，很重视教书育人的工作，这无凝是对的。但对于教学研究就不那么重视，认为可有可无，或者认为这是高校教师、教育学院教师、教研员的事，或者认为“教书育人”与“教学研究”不能两全。其实“教书育人”与“教学研究”尤如一只鸟的两只翅膀，缺少任何一只就不能起飞；如果“教书育人”这只翅膀很发达，而“教学研究”这只翅膀很小，只能在小范围里产生一些影响；如果“教学研究”这只翅膀很发达，而“教书育人”这只翅膀很小，虽然在较大范围内能产生一些影响，但在小范围里并不被人重视甚至还会给你的研究工作设置一些障碍。所以，要想成为一名优秀的教师，必须是两方面兼顾的。
评价一个教师，主要是评价这个教师在这两个方面有多少成果。
一、要有目标意识
每个人都有自己的目标。如达到了一定的教龄就得评一级、高级职称，并打算一次就成功；总想自己的学生成绩好些再好些；人达到了一定的年龄就得成家，自己打算找一个怎样的对象；……。要想在中学数学教学研究中做出一些成绩，也应该有自己长期的、中期的和短期的目标。
要想干好一件事，就必须对她倾注全部的精力，要爱这件工作。作为教师，要想把工作做好，首先要爱教师这个职业，不论社会上的大气候怎样变化，热爱教师这个职业不能变。要热爱自己的学校，热爱自己的学生。要想搞好数学教学研究，也同样要有执着的爱。要想在教师这个职业中干出点名堂来，除了要有执着的爱以外，还应根据自己的特点来确定目标。目标的确定应体现：1．目标的可达到程度；2．目标的阶段性。
有了爱，就会有远大的目标，有了远大的目标，就会产生锲而不舍的精神。在实现目标的过程中，切不可因为社会气候的变化或某个领导的好恶而动摇自己的信念。人云亦云，终将一事无成。
二、课题的研究方法
1． 引伸与推广。对已知命题、课本题目进行引伸、推广，这是一项很有意义的工
作，有很多数学竞赛题和高考题的“影子”就在书上，就是通过引伸、推广而获得的。
例1 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、……
，记 、2、…、100)， (1990年全国初中数学竞赛题)。
这道题目的原型是原初中《几何》第一册复习参考题的第10题：
在 中， 是中线， 是高，求证 .
若将 绕 翻折，就得如右图所示.
此时点 、 、 关于 的对称点为 、
、 .这时
,即
.
若将 ,去掉其它多余的点、线，并设 ，即得：
变形1 在 中， ， 为 上任一点，则有
．
若 边上有100个不同的点 、 、……、 ，其它条件不变，则有：
变形2 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、
……、 ，记 、2、…、100)，则 400.
这就是这道竞赛题.对于更一般的情况,有:
推广 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、……、 ，记 、2、…、100)，则 .
2．类比与猜想。能推、能猜,能推推猜猜、猜猜推推的人，一般是解题能力，研究能力较强的人。类比与猜想能力的强弱是衡量一个人研究能力大小的一个方面，猜想越多，能力越强。
例2 在1至100之间求出10个自然数，使得它们倒数的和为1。
初看此题，觉得很难下手，若与熟知的等式 + + +…+ =
相类比，发现它们有点象。如果再把这个等式变形，就得
+ + +…+ + =1.
则发现它们很象.由于这10个自然数在1至100之间,所以 ≤100.显然 =90,从而可得这10个自然数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10.
例3 已知 、 、 >0，且 ，求证： ≥9.
这是一道常见的题目,用柯西不等式很容易解决,若根据“ ”与“cos2 +cos2 +cos2 =1”相类比，可得到如下的创造性解法.
证明 设 cos2 , cos2 , cos2 (0o< , , <90o).由 ,得cos2 +cos2 +cos2 =1.
由上式知,可构造一对角线长为 ,且对角线与棱 、 、 的夹角分别为 、 、 的长方体 .
∴
=
=3+( )+( )+( )
≥3+2+2+2=9
这是发表于《中学生数学》89年第3期的一篇文章.用这一方法可解决如下一些题目：
若 、 、 ，
一个比较优秀的教研组，应该有一支不同层次，不同特色的教师队伍。她包括：各年级的教学人材；毕业班的把关教师；学科竞赛的教练员、辅导员；教改探索、实践与总结方面的人材；教育教学理论研究方面的人材；等等。
每一个教师都应该形成自己的特色和教学风格。她包括：
师德方面：师生情感应该是非常融洽，其关系应该是非传统意义上的师生关系；与同事的关系应该是朋友式的，教学方面应该是相长的；与领导的关系不应该“你是领导，我是群众” ——一种领导与被领导的关系；……,总之，师德是一个教师成为好教师的首要条件。
修养方面：由于每个人受教育的环境、程度不同，加之遗传因素，每个人的修养也会各不相同。但作为一个好教师，应该具备很好的修养。例如：有些教师教学水平等各方面都不错，但就是看不起比他差一些(仅仅是某些方面)的人，其结果，往往是自己把自己孤立起来，与同事、领导的关系处理不好；也有一些人，做了一些事，生怕人家不知道，总要想尽办法让大家知道；还有一些人，也很认真地工作，但一边做工作，一边哇啦哇啦地发牢骚。其结果，在领导、同事心目中，“你好什么”——功过对消，甚至还过头些；…… 这些人往往修养较差。要知道这在社会主义初级阶段的中国是非常要紧的。
教学方面：上课特别清晰、风趣幽默；板书特别有条理，字写得特别漂亮；组织课堂教学的能力特别强；教学方法的选择运用有独到之处；教学手段的使用高人一筹；教材的挖掘比别人深；能根据概念课、习题课、复习课等不同课型进行非常有效的教学(如概念课的开头很有特色，习题课的选题特别典型，思维过程的分析特别好，复习课的归纳高人一筹)；等等。
解题方面：解题能力特别强，能解一般教师解不出的题目；解题特别仔细，能将一般教师不易想到的各个方面，各种情况都能考虑到。
研究方面：很有文采，文章写得很好；能够把一个特殊的问题推广到一般的情况；能从一些个别的题目中，总结出对一类问题有普遍指导意义的结果、方法；能有计划、有准备地进行课题研究；等等。
要求每位老师都成为“全材”是不科学也是不实际的，但要求每个老师至少擅长于一、二个方面或更多的方面，并有所成就，是应该且也是能够做到的。
今天，结合自已在教学研究方面的工作，和大家谈谈：
中学数学的研究方法和课题
方 法 篇
教师的工作，归纳起来是二个方面：一是教书育人；二是教学研究。对于多数教师来说，很重视教书育人的工作，这无凝是对的。但对于教学研究就不那么重视，认为可有可无，或者认为这是高校教师、教育学院教师、教研员的事，或者认为“教书育人”与“教学研究”不能两全。其实“教书育人”与“教学研究”尤如一只鸟的两只翅膀，缺少任何一只就不能起飞；如果“教书育人”这只翅膀很发达，而“教学研究”这只翅膀很小，只能在小范围里产生一些影响；如果“教学研究”这只翅膀很发达，而“教书育人”这只翅膀很小，虽然在较大范围内能产生一些影响，但在小范围里并不被人重视甚至还会给你的研究工作设置一些障碍。所以，要想成为一名优秀的教师，必须是两方面兼顾的。
评价一个教师，主要是评价这个教师在这两个方面有多少成果。
一、要有目标意识
每个人都有自己的目标。如达到了一定的教龄就得评一级、高级职称，并打算一次就成功；总想自己的学生成绩好些再好些；人达到了一定的年龄就得成家，自己打算找一个怎样的对象；……。要想在中学数学教学研究中做出一些成绩，也应该有自己长期的、中期的和短期的目标。
要想干好一件事，就必须对她倾注全部的精力，要爱这件工作。作为教师，要想把工作做好，首先要爱教师这个职业，不论社会上的大气候怎样变化，热爱教师这个职业不能变。要热爱自己的学校，热爱自己的学生。要想搞好数学教学研究，也同样要有执着的爱。要想在教师这个职业中干出点名堂来，除了要有执着的爱以外，还应根据自己的特点来确定目标。目标的确定应体现：1．目标的可达到程度；2．目标的阶段性。
有了爱，就会有远大的目标，有了远大的目标，就会产生锲而不舍的精神。在实现目标的过程中，切不可因为社会气候的变化或某个领导的好恶而动摇自己的信念。人云亦云，终将一事无成。
二、课题的研究方法
1． 引伸与推广。对已知命题、课本题目进行引伸、推广，这是一项很有意义的工
作，有很多数学竞赛题和高考题的“影子”就在书上，就是通过引伸、推广而获得的。
例1 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、……
，记 、2、…、100)， (1990年全国初中数学竞赛题)。
这道题目的原型是原初中《几何》第一册复习参考题的第10题：
在 中， 是中线， 是高，求证 .
若将 绕 翻折，就得如右图所示.
此时点 、 、 关于 的对称点为 、
、 .这时
,即
.
若将 ,去掉其它多余的点、线，并设 ，即得：
变形1 在 中， ， 为 上任一点，则有
．
若 边上有100个不同的点 、 、……、 ，其它条件不变，则有：
变形2 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、
……、 ，记 、2、…、100)，则 400.
这就是这道竞赛题.对于更一般的情况,有:
推广 在 ,中 ， 边上有100个不同的点 、 、……、 ，记 、2、…、100)，则 .
2．类比与猜想。能推、能猜,能推推猜猜、猜猜推推的人，一般是解题能力，研究能力较强的人。类比与猜想能力的强弱是衡量一个人研究能力大小的一个方面，猜想越多，能力越强。
例2 在1至100之间求出10个自然数，使得它们倒数的和为1。
初看此题，觉得很难下手，若与熟知的等式 + + +…+ =
相类比，发现它们有点象。如果再把这个等式变形，就得
+ + +…+ + =1.
则发现它们很象.由于这10个自然数在1至100之间,所以 ≤100.显然 =90,从而可得这10个自然数是2,6,12,20,30,42,56,72,90,10.
例3 已知 、 、 >0，且 ，求证： ≥9.
这是一道常见的题目,用柯西不等式很容易解决,若根据“ ”与“cos2 +cos2 +cos2 =1”相类比，可得到如下的创造性解法.
证明 设 cos2 , cos2 , cos2 (0o< , , <90o).由 ,得cos2 +cos2 +cos2 =1.
由上式知,可构造一对角线长为 ,且对角线与棱 、 、 的夹角分别为 、 、 的长方体 .
∴
=
=3+( )+( )+( )
≥3+2+2+2=9
这是发表于《中学生数学》89年第3期的一篇文章.用这一方法可解决如下一些题目：
若 、 、 ，
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