学会数学建模，解决实际情景问题

随着课改的深入开展，实际情景问题应运而生，并迅速发展成为命题的亮点、热点。实际情景问题是复杂多变的，它贴近生活，为学生所熟悉，且以一定的知识为依托。情景设置的取材广泛，有社会热点问题，如环保、纳税、经济、合理用料等，使问题富有时代气息；也有日常生活中常见的问题，如购物、统计、几何图形的计算等。解决实际情景问题的关键是＂转化＂，即将实际情景问题＂数学化＂，根据已有的数学知识、经验去建立相应的数学模型（即数学建模），进而解决问题。所谓数学建模就是把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再通过数学模型的研究，使原问题获得解决的过程。其基本思路是：
　　　　　　　　 抽象　　　　　　　　　　　　　　　　 　求解
　　 实际问题　数学模型　　数学问题的解
　　　　　　　（转化）　　　　　　　　　　　　　　（运用数学知识、方法）
　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　返回解释
　　　　　　　　　　　　　　　 　（检　验）
　　数学建模需要较多探索和创造性，初中数学常见的建模方法有：涉及图形的位置性质，建立几何模型；涉及对现实生活中物体的测量，建立解直角三角形模型；涉及现实生活中普遍存在的等量关系（不等量关系），建立方程（不等式）模型；涉及现实生活中的变量关系，建立函数模型；涉及对数据的收集、整理、分析，建立统计模型等。下面举例说明。
　　一、建立几何模型
　　例1：假设学生座位到黑板的距离是5米，老师在黑板上写字，究竟要写多大，才能使学生望去时，同他书桌相距30厘米的课本字感觉相同（即视角相同）？
　　
　　分析：看黑板上的字和看课本的字有远与近的区别，若双眼去看，有一个调整视力焦距的问题，现在考虑二者的视角相等，要视角相等，只要两三角形相似。
　　解：量得几何课本正文字的大小为 0.４cm＊0.35cm（高＊宽）。如图，假设看垂直课本和垂直黑板上一个字的视角相等，于是有
　　　　　　△ OAB ∽△ OA ' B '
　　则 = 即 AB =
　　这里OC=5m=500cm，OC'=30cm
　　字高度：A'B'=0.4cm，AB=500*0.4/30≈7
　　字宽度：A'B'=0.35cm，AB=500*0.35/30≈6
　　因此，老师的黑板字大小应为 7cm*6cm（宽*高）。
　　说明：相似三角形对应线段之比等于相似比，这一性质应用较多。例如利用影长计算大树或建筑物的高度；利用某种物质的固定长度，计算该物体与观测者的距离等等。
　　例２：暑假里，小强帮母亲到鱼店去买鱼。鱼店里有一种＂竹篓鱼＂，个个都长得非常相似，现有大小两种不同的价钱，如图所示，鱼长10cm的每条10元；鱼长13cm的每条15元，小强不知道买哪种更好些，你们看怎么办？

　

　　分析：这里要用到＂立体相似＂的知识，两个相似的立体，若相似比（对应线段长度之比）为 m/n，则体积之比是。
　　解：设两条相似的鱼A、B的长分别为10cm和13cm，即 B 对于A的相似比是13/10，则体积之比就是；
　　而A是10元，B是15元，这样B对于 A 的价格比是15/10=1.5
　　这里，论体积B是A的2.197倍，但价格B才是A的1.5倍，很显然，买日比买A更合算。
　　说明：这虽然是小强遇到的事，但在我们的日常生活中有时也会碰到，我们已经学习过＂相似形面积比＂的知识，如果再有＂立体相似＂的知识，遇到这类问题就不会感到困难了。
　　二、建立解直角三角形模型
　　例３：6月以来，我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生。北峰小学教学楼后面紧邻着一个土坡，坡上面是一块平地，如图所示：AF∥BC，斜坡AB长30米，坡角∠ABC＝65o。为了防止滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过45o时，可以确保山体不滑坡。
　　（1）求坡顶与地面的距离AD等于多少米？（精确到0.1米）
　　（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚B不动，坡顶A沿AF削进到E点处，求AE至少是多少米？（精确到0.1米）

　　解：（1）在Rt△ADB中，AB＝30m，∠ABC＝ 65o，sin∠ABC ＝
　　∴ AD ＝ AB·sin∠ ABC＝30×sin65o≈27.2（m）
　　答：AD等于27.2米。
　　（2）在 Rt△ADB中　　　cos∠ABD＝
　　∴ DB ＝ AB·cos∠ABD ＝30×cos65o≈12.7（m）
　　连结BE、过E作EN⊥BC于N
　　∵AE∥BC　　　∴四边形AEND为矩形
　　NE＝AD≈27.2
　　在Rt△ENB中，由已知∠EBN≤45o
　　当EBN＝45o时　　BN＝EN＝27.2
　　∴AE＝ND＝BN－BD＝14.5（m）
　　答：AE至少是14.5分。
　　说明：本题取材于学生身边常见的自然现象，以锐角三角函数、解直角三角形知识为主体而设计探索题。通过它把学习与自然、生活结合在一起，能自觉地唤起学生学习思考的兴趣，增强 探索大自然的信心。
　　三、建立方程（不等式）模型
　　例４：某工程，甲工程队单独做40天完成，若乙工程队单独做30天后，甲、乙两工程队再合作20天完成。
　　（1）：（5分）求乙工程队单独做需要多少天完成？
　　（2）：（4分）将工程分两部分，甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天，其中x、y均为正整数，且x＜15，y＜70，求 x、y.
　　解：（1）设乙工程队单独做需要x天完成。
　　则30×+20（）=1，解之得：x=100
　　经检验得x=100 是所列方程的解，所以求乙工程队单独做需要100天完成。
　　（2）甲做其中一部分用了x天，乙做另一部分用了y天
　　所以 ，即：y=100 - ，又x＜15，y＜70
　　所以 ，解之得：12＜x＜15，所以x=13或14，
　　又y也为正整数，所以x=14，y=65
　　说明：这是一道中考题，它着重对学生＂知识联系实际＂的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决。
　　四、建立函数模型
　　例５：卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分。在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）。在比例图上，以直线 AB 为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）。

　　（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；
　　（2）如果DE与AB的距离OM ＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）。
　　解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图