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“与时惧进”谈数学能力
作者：佚名 来源：本站整理 发布时间：2008-8-12 8:22:34
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增大字体 数学能力的研究已有很长的历史，许多数学家和数学教育家给出过不同的答案．随着时代的发展，数学能力的含义不断有新的理解．特别是高考命题以“能力立意”为指针，更凸现了数学能力的社会功能。这里，让我们回顾历史，展望将来，进一步界定数学能力的范围，为我国中学数学课程和数学教学找到合适的目标定位。
一、一点历史
数学经历了四个高峰．这就是：古希腊数学(公理化)；牛顿发明微积分(不严密的算法)；希尔伯特的形式主义(严密的公理化)；计算机时代的问题解决(纯粹数学与应用数学的新交融)．
20世纪下半叶，数学的发展从第三个高峰时期进入第四个高峰时期．数学渗入自然科学和社会科学的各个领域，解决各种现实的问题再次成为数学时尚．数学仍然是整体，许多实际问题的背后往往是一种纯粹数学的架构．然而，一味追求数学的“纯粹’、“以不求实用”为荣的时代毕竟过去了．布尔巴基学派的结构主义数学观曾经风靡一时，但在1970年代走向下坡路，人们渐渐地走出了抽象的“布尔巴基光环”．在即将出版的《数学无国界一国际数学联盟历史》一书中这样说：
在20世纪的上半叶，越来越多的人认为应该为数学本身研究数学，而不必考虑它的来源或应用。这为抽象化的倾向提供了根据．第二次世界大战重新燃起对应用数学的兴趣。在20世纪的下半叶，工业化社会中高级技术的迅速增长，开始引起对应用数学更多的需求，并产生了一系列新的和有趣的问题．计算机的激增极大地推动了这些发展．
这样的数学发展背景，自然会影响数学教育观，包括对数学能力的认识．我国的数学教育观念，受1950年代的苏联学派的影响很深．那时的数学观多半属于第三高峰时期，对第四个数学高峰缺乏思想准备．
克鲁茨斯基的权威著作《中小学生数学能力心理学》，确定数学能力的组成部分是：(1) 把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；(3)运用数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理；(5)缩短推理结构进行简 洁推理；(6)逆向思维能力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概念．这9种能力，总起来就是“形式化’的抽象、记忆、推理能力。它忽视数学建模、数学应用的能力，显然停留在形式主义的阶段．
关于数学能力，我国长期流行的提法是“三大能力”：数学运算能力，空间想象能力和逻辑思维能力。这一提法有很强的概括力。但是，它同样忽视应用，突出逻辑的地位，甚至认为“数学能力的核心是逻辑思维能力”．
到了1991年，高等教育出版社出版的《数学教育概论》提出了6种数学能力：(1)感知数学材料形式化；(2)对数学对象、空间关系的抽象概括能力；(3)运用数学符号进行推理的能力；(4)运用数学符号进行数学运算的能力；(5)思维转换能力；(6)记忆特定的数学符号、原理方法、抽象结构的能力。显然，这6种能力脱胎于克鲁茨斯基的说法，没有本质的改变．这两本书，相距30年，恰恰经历了以计算机技术为代表的信息革命年代，遗憾的是没有反映时代的进步．
二、l990年代以来的变化
1990年代，中国教育发生了深刻的变化。它是渐进的，人们往往不甚觉察．但是回头一望，已经有了巨大的改变．国家整体上提倡“素质教育”和“创新教育”，中国数学界强调数学应用的重要性，社会进步把数学教学带入了计算机时代．数学教育界看到了“应用意识的失落”，提出了“淡化形式、注重实质”的口号，注意把学习的主动权交给学生。数学应用题终于重新进人高考，而且大量的数学新题型出现了．于是，数学能力的提法也逐步有了变化．
国家颁布的1992年数学教学大纲，继续提出三大能力，但是加上了“用所学知识解决简单的实际问题”．注意到“实际问题’，但限于“简单的”．
1996年的大纲，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”，理由是数学思维不仅是逻辑思维；在三大能力之外提出了“逐步培养分析和解决实际问题的能力”．这进一步注意到解决实际问题的能力，可惜还是“逐步培养”。
1997年以后，创新教育的口号极大地促进了数学能力的研究。大学里纷纷开设“数学建模”、“数学实验’等课程。数学建模竞赛、应用数学知识竞赛也应运而生。特别地，高考、中考的数学新题型层出不穷。应用题、开放题、情景题、探索题大量涌现．这一切，都在数学能力上提出了新的要求．
1980年代，徐利治先生在《数学方法论选讲》中，就提出了“建立数学模型”的方法，但是在中学界反应平平．大量的数学方法论著作集中在波利亚的纯粹数学题的求解．一切都归结为用“化归”方法解数学题．这种情况到了1990年代后期开始改变．戴再平先生提倡的“开放题数学教学”一时风靡大江南北．研究性学习象一把火，照亮了数学教学前进的新路．
进入21世纪之后，国内外关于数学能力的提法又有新的变化 。
2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2)问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力．后面的三条我们很少提到。 仔细想来，还是很有道理的。
奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研究》中，强调在高考中要着重考察“一般数学能力”，其中包括以下4项：学习数学新知识的能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决实际问题的能力；以及数学创新能力。这些能力已经实际地反映在上海的高考命题之中．上海“能力立意”的考试命题方针，使得单纯依靠“大运动量训练的教学方法占不到便宜．以上4种能力，把“数学”两字换成“语文”“物理”也同样适用．因此称之为“一般数学能力”，和传统的“三大能力”不属于同一范畴．
2002年将颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高中学生应具备的数学能力有了更细致的描述．除了提到一般数学能力之外，更明确地界定了唯有数学学科才有的“数学思维能力”．它包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面。这一提法涵盖了三大能力，但更全面、更具体、更明确。体现了数学思维从直观想象和猜想开始，通过抽象表示和运算，用证明演绎方法加以论证，乃至构成学科体系的全过程。
三、常规数学思维能力的界定
新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维 能力作了界定，本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出了以下10个方面．
（1)数形感觉与判断能力．一个问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题?是哪一 类数学问题?要能察觉其中的数学因素，例如方程求解、函数变化(微积分)、随机现象、几何描述、优化决策、计算算法等等．这是要能够对数学的本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断．
(2)数据收集与分析．数字化时代，数据无处不在．能够收集数据、关注数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的行动决策．
(3)几何直观和空间想象．能够感受物质存在的位置关系，构作几何图形，正确地加以描绘，并能体会其中的本质．
(4)数学表示与数学建模．会使用数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物的发展规律，能够将具体的数量关系抽象为可以运算的数学模型．
(5)数学运算和数学变换．会按照运算规则熟练而准确地对数字和符号进行运算．理解等价关系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同构。掌握几何变换以及变换中的不变量．
(6)归纳猜想与合情推理．善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察数量关系，作出猜想。
(7)逻辑思考与演绎证明。 逻辑分类、排序、关系、流程．数学证明和科学证实的区别。演绎证明的价值.
(8)数学联结与数学洞察．返璞归真，掌握数学的本质，提炼为数学思想方法．欣赏数学的魅力．
(9)数学计算和算法设计．对数字与符号依一定算法进行运算的能力，对大量数据进行处理的能力，是公民生活的实际需要．
(10)理性思维与构建体系.掌握数学的理性思维特征，不迷信权威，不感情用事，不含糊马虎。在日常生活中能够数学地思考问题，并和别人进行数学交流。最终形成比较完整的数学思想体系。
四、数学创新能力的界定及其培养模式
数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创新有什么特点?还应该有更进一步的阐述．具体说来也可分为以下10点 。
(1)提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质．
数学能力的研究已有很长的历史，许多数学家和数学教育家给出过不同的答案．随着时代的发展，数学能力的含义不断有新的理解．特别是高考命题以“能力立意”为指针，更凸现了数学能力的社会功能。这里，让我们回顾历史，展望将来，进一步界定数学能力的范围，为我国中学数学课程和数学教学找到合适的目标定位。
一、一点历史
数学经历了四个高峰．这就是：古希腊数学(公理化)；牛顿发明微积分(不严密的算法)；希尔伯特的形式主义(严密的公理化)；计算机时代的问题解决(纯粹数学与应用数学的新交融)．
20世纪下半叶，数学的发展从第三个高峰时期进入第四个高峰时期．数学渗入自然科学和社会科学的各个领域，解决各种现实的问题再次成为数学时尚．数学仍然是整体，许多实际问题的背后往往是一种纯粹数学的架构．然而，一味追求数学的“纯粹’、“以不求实用”为荣的时代毕竟过去了．布尔巴基学派的结构主义数学观曾经风靡一时，但在1970年代走向下坡路，人们渐渐地走出了抽象的“布尔巴基光环”．在即将出版的《数学无国界一国际数学联盟历史》一书中这样说：
在20世纪的上半叶，越来越多的人认为应该为数学本身研究数学，而不必考虑它的来源或应用。这为抽象化的倾向提供了根据．第二次世界大战重新燃起对应用数学的兴趣。在20世纪的下半叶，工业化社会中高级技术的迅速增长，开始引起对应用数学更多的需求，并产生了一系列新的和有趣的问题．计算机的激增极大地推动了这些发展．
这样的数学发展背景，自然会影响数学教育观，包括对数学能力的认识．我国的数学教育观念，受1950年代的苏联学派的影响很深．那时的数学观多半属于第三高峰时期，对第四个数学高峰缺乏思想准备．
克鲁茨斯基的权威著作《中小学生数学能力心理学》，确定数学能力的组成部分是：(1) 把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；(3)运用数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理；(5)缩短推理结构进行简 洁推理；(6)逆向思维能力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概念．这9种能力，总起来就是“形式化’的抽象、记忆、推理能力。它忽视数学建模、数学应用的能力，显然停留在形式主义的阶段．
关于数学能力，我国长期流行的提法是“三大能力”：数学运算能力，空间想象能力和逻辑思维能力。这一提法有很强的概括力。但是，它同样忽视应用，突出逻辑的地位，甚至认为“数学能力的核心是逻辑思维能力”．
到了1991年，高等教育出版社出版的《数学教育概论》提出了6种数学能力：(1)感知数学材料形式化；(2)对数学对象、空间关系的抽象概括能力；(3)运用数学符号进行推理的能力；(4)运用数学符号进行数学运算的能力；(5)思维转换能力；(6)记忆特定的数学符号、原理方法、抽象结构的能力。显然，这6种能力脱胎于克鲁茨斯基的说法，没有本质的改变．这两本书，相距30年，恰恰经历了以计算机技术为代表的信息革命年代，遗憾的是没有反映时代的进步．
二、l990年代以来的变化
1990年代，中国教育发生了深刻的变化。它是渐进的，人们往往不甚觉察．但是回头一望，已经有了巨大的改变．国家整体上提倡“素质教育”和“创新教育”，中国数学界强调数学应用的重要性，社会进步把数学教学带入了计算机时代．数学教育界看到了“应用意识的失落”，提出了“淡化形式、注重实质”的口号，注意把学习的主动权交给学生。数学应用题终于重新进人高考，而且大量的数学新题型出现了．于是，数学能力的提法也逐步有了变化．
国家颁布的1992年数学教学大纲，继续提出三大能力，但是加上了“用所学知识解决简单的实际问题”．注意到“实际问题’，但限于“简单的”．
1996年的大纲，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”，理由是数学思维不仅是逻辑思维；在三大能力之外提出了“逐步培养分析和解决实际问题的能力”．这进一步注意到解决实际问题的能力，可惜还是“逐步培养”。
1997年以后，创新教育的口号极大地促进了数学能力的研究。大学里纷纷开设“数学建模”、“数学实验’等课程。数学建模竞赛、应用数学知识竞赛也应运而生。特别地，高考、中考的数学新题型层出不穷。应用题、开放题、情景题、探索题大量涌现．这一切，都在数学能力上提出了新的要求．
1980年代，徐利治先生在《数学方法论选讲》中，就提出了“建立数学模型”的方法，但是在中学界反应平平．大量的数学方法论著作集中在波利亚的纯粹数学题的求解．一切都归结为用“化归”方法解数学题．这种情况到了1990年代后期开始改变．戴再平先生提倡的“开放题数学教学”一时风靡大江南北．研究性学习象一把火，照亮了数学教学前进的新路．
进入21世纪之后，国内外关于数学能力的提法又有新的变化 。
2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2)问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力．后面的三条我们很少提到。 仔细想来，还是很有道理的。
奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研究》中，强调在高考中要着重考察“一般数学能力”，其中包括以下4项：学习数学新知识的能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决实际问题的能力；以及数学创新能力。这些能力已经实际地反映在上海的高考命题之中．上海“能力立意”的考试命题方针，使得单纯依靠“大运动量训练的教学方法占不到便宜．以上4种能力，把“数学”两字换成“语文”“物理”也同样适用．因此称之为“一般数学能力”，和传统的“三大能力”不属于同一范畴．
2002年将颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高中学生应具备的数学能力有了更细致的描述．除了提到一般数学能力之外，更明确地界定了唯有数学学科才有的“数学思维能力”．它包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面。这一提法涵盖了三大能力，但更全面、更具体、更明确。体现了数学思维从直观想象和猜想开始，通过抽象表示和运算，用证明演绎方法加以论证，乃至构成学科体系的全过程。
三、常规数学思维能力的界定
新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维 能力作了界定，本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出了以下10个方面．
（1)数形感觉与判断能力．一个问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题?是哪一 类数学问题?要能察觉其中的数学因素，例如方程求解、函数变化(微积分)、随机现象、几何描述、优化决策、计算算法等等．这是要能够对数学的本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断．
(2)数据收集与分析．数字化时代，数据无处不在．能够收集数据、关注数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的行动决策．
(3)几何直观和空间想象．能够感受物质存在的位置关系，构作几何图形，正确地加以描绘，并能体会其中的本质．
(4)数学表示与数学建模．会使用数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物的发展规律，能够将具体的数量关系抽象为可以运算的数学模型．
(5)数学运算和数学变换．会按照运算规则熟练而准确地对数字和符号进行运算．理解等价关系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同构。掌握几何变换以及变换中的不变量．
(6)归纳猜想与合情推理．善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察数量关系，作出猜想。
(7)逻辑思考与演绎证明。 逻辑分类、排序、关系、流程．数学证明和科学证实的区别。演绎证明的价值.
(8)数学联结与数学洞察．返璞归真，掌握数学的本质，提炼为数学思想方法．欣赏数学的魅力．
(9)数学计算和算法设计．对数字与符号依一定算法进行运算的能力，对大量数据进行处理的能力，是公民生活的实际需要．
(10)理性思维与构建体系.掌握数学的理性思维特征，不迷信权威，不感情用事，不含糊马虎。在日常生活中能够数学地思考问题，并和别人进行数学交流。最终形成比较完整的数学思想体系。
四、数学创新能力的界定及其培养模式
数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创新有什么特点?还应该有更进一步的阐述．具体说来也可分为以下10点 。
(1)提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质．
(2)建立新的数学模型并用于实践的能力．
(3)发现数学规律的能力。包括提出定义，定理，公式．
(4)推广现有数学结论的能力．放松条件或加强结论．
(5)构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力．
(6)将不同领域的知识进行数学联结的能力。
(7)总结已有数学成果达到新认识水平的能力。
(8)巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力．
(9)善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。
(10)知道什么是“好’的数学，什么是“不大好”的数学。
培养数学能力需要有新的数学教学模式．我们的常规教学模式：复习—导入—讲授—巩固—作业，是为“传授知识”而设计的。它符合传授知识的客观规律，有重要的价值．但是它的形式是封闭的。 我们的任务是从封闭到开放，给学生以主动思考的空间。比如我们提 倡新的数学教学5环节：复习回顾——创设情景——师生互动——巩固反思——作业质疑，也许更适宜于发展学生的数学能力。除了上述的常规模式之外，我们应当尝试一些特殊的数学教学模式例如：(1)开放题教学模式；(2)探究式教学模式(研究性课题)；(3)活动式教学模式．(4)数学作文．(5)长作业教学等等．
(2)建立新的数学模型并用于实践的能力．
(3)发现数学规律的能力。包括提出定义，定理，公式．
(4)推广现有数学结论的能力．放松条件或加强结论．
(5)构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力．
(6)将不同领域的知识进行数学联结的能力。
(7)总结已有数学成果达到新认识水平的能力。
(8)巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力．
(9)善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。
(10)知道什么是“好’的数学，什么是“不大好”的数学。
培养数学能力需要有新的数学教学模式．我们的常规教学模式：复习—导入—讲授—巩固—作业，是为“传授知识”而设计的。它符合传授知识的客观规律，有重要的价值．但是它的形式是封闭的。 我们的任务是从封闭到开放，给学生以主动思考的空间。比如我们提 倡新的数学教学5环节：复习回顾——创设情景——师生互动——巩固反思——作业质疑，也许更适宜于发展学生的数学能力。除了上述的常规模式之外，我们应当尝试一些特殊的数学教学模式例如：(1)开放题教学模式；(2)探究式教学模式(研究性课题)；(3)活动式教学模式．(4)数学作文．(5)长作业教学等等．
一、一点历史
数学经历了四个高峰．这就是：古希腊数学(公理化)；牛顿发明微积分(不严密的算法)；希尔伯特的形式主义(严密的公理化)；计算机时代的问题解决(纯粹数学与应用数学的新交融)．
20世纪下半叶，数学的发展从第三个高峰时期进入第四个高峰时期．数学渗入自然科学和社会科学的各个领域，解决各种现实的问题再次成为数学时尚．数学仍然是整体，许多实际问题的背后往往是一种纯粹数学的架构．然而，一味追求数学的“纯粹’、“以不求实用”为荣的时代毕竟过去了．布尔巴基学派的结构主义数学观曾经风靡一时，但在1970年代走向下坡路，人们渐渐地走出了抽象的“布尔巴基光环”．在即将出版的《数学无国界一国际数学联盟历史》一书中这样说：
在20世纪的上半叶，越来越多的人认为应该为数学本身研究数学，而不必考虑它的来源或应用。这为抽象化的倾向提供了根据．第二次世界大战重新燃起对应用数学的兴趣。在20世纪的下半叶，工业化社会中高级技术的迅速增长，开始引起对应用数学更多的需求，并产生了一系列新的和有趣的问题．计算机的激增极大地推动了这些发展．
这样的数学发展背景，自然会影响数学教育观，包括对数学能力的认识．我国的数学教育观念，受1950年代的苏联学派的影响很深．那时的数学观多半属于第三高峰时期，对第四个数学高峰缺乏思想准备．
克鲁茨斯基的权威著作《中小学生数学能力心理学》，确定数学能力的组成部分是：(1) 把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；(3)运用数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理；(5)缩短推理结构进行简 洁推理；(6)逆向思维能力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概念．这9种能力，总起来就是“形式化’的抽象、记忆、推理能力。它忽视数学建模、数学应用的能力，显然停留在形式主义的阶段．
关于数学能力，我国长期流行的提法是“三大能力”：数学运算能力，空间想象能力和逻辑思维能力。这一提法有很强的概括力。但是，它同样忽视应用，突出逻辑的地位，甚至认为“数学能力的核心是逻辑思维能力”．
到了1991年，高等教育出版社出版的《数学教育概论》提出了6种数学能力：(1)感知数学材料形式化；(2)对数学对象、空间关系的抽象概括能力；(3)运用数学符号进行推理的能力；(4)运用数学符号进行数学运算的能力；(5)思维转换能力；(6)记忆特定的数学符号、原理方法、抽象结构的能力。显然，这6种能力脱胎于克鲁茨斯基的说法，没有本质的改变．这两本书，相距30年，恰恰经历了以计算机技术为代表的信息革命年代，遗憾的是没有反映时代的进步．
二、l990年代以来的变化
1990年代，中国教育发生了深刻的变化。它是渐进的，人们往往不甚觉察．但是回头一望，已经有了巨大的改变．国家整体上提倡“素质教育”和“创新教育”，中国数学界强调数学应用的重要性，社会进步把数学教学带入了计算机时代．数学教育界看到了“应用意识的失落”，提出了“淡化形式、注重实质”的口号，注意把学习的主动权交给学生。数学应用题终于重新进人高考，而且大量的数学新题型出现了．于是，数学能力的提法也逐步有了变化．
国家颁布的1992年数学教学大纲，继续提出三大能力，但是加上了“用所学知识解决简单的实际问题”．注意到“实际问题’，但限于“简单的”．
1996年的大纲，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”，理由是数学思维不仅是逻辑思维；在三大能力之外提出了“逐步培养分析和解决实际问题的能力”．这进一步注意到解决实际问题的能力，可惜还是“逐步培养”。
1997年以后，创新教育的口号极大地促进了数学能力的研究。大学里纷纷开设“数学建模”、“数学实验’等课程。数学建模竞赛、应用数学知识竞赛也应运而生。特别地，高考、中考的数学新题型层出不穷。应用题、开放题、情景题、探索题大量涌现．这一切，都在数学能力上提出了新的要求．
1980年代，徐利治先生在《数学方法论选讲》中，就提出了“建立数学模型”的方法，但是在中学界反应平平．大量的数学方法论著作集中在波利亚的纯粹数学题的求解．一切都归结为用“化归”方法解数学题．这种情况到了1990年代后期开始改变．戴再平先生提倡的“开放题数学教学”一时风靡大江南北．研究性学习象一把火，照亮了数学教学前进的新路．
进入21世纪之后，国内外关于数学能力的提法又有新的变化 。
2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2)问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力．后面的三条我们很少提到。 仔细想来，还是很有道理的。
奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研究》中，强调在高考中要着重考察“一般数学能力”，其中包括以下4项：学习数学新知识的能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决实际问题的能力；以及数学创新能力。这些能力已经实际地反映在上海的高考命题之中．上海“能力立意”的考试命题方针，使得单纯依靠“大运动量训练的教学方法占不到便宜．以上4种能力，把“数学”两字换成“语文”“物理”也同样适用．因此称之为“一般数学能力”，和传统的“三大能力”不属于同一范畴．
2002年将颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高中学生应具备的数学能力有了更细致的描述．除了提到一般数学能力之外，更明确地界定了唯有数学学科才有的“数学思维能力”．它包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面。这一提法涵盖了三大能力，但更全面、更具体、更明确。体现了数学思维从直观想象和猜想开始，通过抽象表示和运算，用证明演绎方法加以论证，乃至构成学科体系的全过程。
三、常规数学思维能力的界定
新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维 能力作了界定，本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出了以下10个方面．
（1)数形感觉与判断能力．一个问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题?是哪一 类数学问题?要能察觉其中的数学因素，例如方程求解、函数变化(微积分)、随机现象、几何描述、优化决策、计算算法等等．这是要能够对数学的本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断．
(2)数据收集与分析．数字化时代，数据无处不在．能够收集数据、关注数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的行动决策．
(3)几何直观和空间想象．能够感受物质存在的位置关系，构作几何图形，正确地加以描绘，并能体会其中的本质．
(4)数学表示与数学建模．会使用数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物的发展规律，能够将具体的数量关系抽象为可以运算的数学模型．
(5)数学运算和数学变换．会按照运算规则熟练而准确地对数字和符号进行运算．理解等价关系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同构。掌握几何变换以及变换中的不变量．
(6)归纳猜想与合情推理．善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察数量关系，作出猜想。
(7)逻辑思考与演绎证明。 逻辑分类、排序、关系、流程．数学证明和科学证实的区别。演绎证明的价值.
(8)数学联结与数学洞察．返璞归真，掌握数学的本质，提炼为数学思想方法．欣赏数学的魅力．
(9)数学计算和算法设计．对数字与符号依一定算法进行运算的能力，对大量数据进行处理的能力，是公民生活的实际需要．
(10)理性思维与构建体系.掌握数学的理性思维特征，不迷信权威，不感情用事，不含糊马虎。在日常生活中能够数学地思考问题，并和别人进行数学交流。最终形成比较完整的数学思想体系。
四、数学创新能力的界定及其培养模式
数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创新有什么特点?还应该有更进一步的阐述．具体说来也可分为以下10点 。
(1)提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质．
数学能力的研究已有很长的历史，许多数学家和数学教育家给出过不同的答案．随着时代的发展，数学能力的含义不断有新的理解．特别是高考命题以“能力立意”为指针，更凸现了数学能力的社会功能。这里，让我们回顾历史，展望将来，进一步界定数学能力的范围，为我国中学数学课程和数学教学找到合适的目标定位。
一、一点历史
数学经历了四个高峰．这就是：古希腊数学(公理化)；牛顿发明微积分(不严密的算法)；希尔伯特的形式主义(严密的公理化)；计算机时代的问题解决(纯粹数学与应用数学的新交融)．
20世纪下半叶，数学的发展从第三个高峰时期进入第四个高峰时期．数学渗入自然科学和社会科学的各个领域，解决各种现实的问题再次成为数学时尚．数学仍然是整体，许多实际问题的背后往往是一种纯粹数学的架构．然而，一味追求数学的“纯粹’、“以不求实用”为荣的时代毕竟过去了．布尔巴基学派的结构主义数学观曾经风靡一时，但在1970年代走向下坡路，人们渐渐地走出了抽象的“布尔巴基光环”．在即将出版的《数学无国界一国际数学联盟历史》一书中这样说：
在20世纪的上半叶，越来越多的人认为应该为数学本身研究数学，而不必考虑它的来源或应用。这为抽象化的倾向提供了根据．第二次世界大战重新燃起对应用数学的兴趣。在20世纪的下半叶，工业化社会中高级技术的迅速增长，开始引起对应用数学更多的需求，并产生了一系列新的和有趣的问题．计算机的激增极大地推动了这些发展．
这样的数学发展背景，自然会影响数学教育观，包括对数学能力的认识．我国的数学教育观念，受1950年代的苏联学派的影响很深．那时的数学观多半属于第三高峰时期，对第四个数学高峰缺乏思想准备．
克鲁茨斯基的权威著作《中小学生数学能力心理学》，确定数学能力的组成部分是：(1) 把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；(3)运用数学符号进行运算；(4)连贯而有节奏的逻辑推理；(5)缩短推理结构进行简 洁推理；(6)逆向思维能力；(7)思维的灵活性；(8)数字记忆；(9)空间概念．这9种能力，总起来就是“形式化’的抽象、记忆、推理能力。它忽视数学建模、数学应用的能力，显然停留在形式主义的阶段．
关于数学能力，我国长期流行的提法是“三大能力”：数学运算能力，空间想象能力和逻辑思维能力。这一提法有很强的概括力。但是，它同样忽视应用，突出逻辑的地位，甚至认为“数学能力的核心是逻辑思维能力”．
到了1991年，高等教育出版社出版的《数学教育概论》提出了6种数学能力：(1)感知数学材料形式化；(2)对数学对象、空间关系的抽象概括能力；(3)运用数学符号进行推理的能力；(4)运用数学符号进行数学运算的能力；(5)思维转换能力；(6)记忆特定的数学符号、原理方法、抽象结构的能力。显然，这6种能力脱胎于克鲁茨斯基的说法，没有本质的改变．这两本书，相距30年，恰恰经历了以计算机技术为代表的信息革命年代，遗憾的是没有反映时代的进步．
二、l990年代以来的变化
1990年代，中国教育发生了深刻的变化。它是渐进的，人们往往不甚觉察．但是回头一望，已经有了巨大的改变．国家整体上提倡“素质教育”和“创新教育”，中国数学界强调数学应用的重要性，社会进步把数学教学带入了计算机时代．数学教育界看到了“应用意识的失落”，提出了“淡化形式、注重实质”的口号，注意把学习的主动权交给学生。数学应用题终于重新进人高考，而且大量的数学新题型出现了．于是，数学能力的提法也逐步有了变化．
国家颁布的1992年数学教学大纲，继续提出三大能力，但是加上了“用所学知识解决简单的实际问题”．注意到“实际问题’，但限于“简单的”．
1996年的大纲，将“逻辑思维能力”改成“思维能力”，理由是数学思维不仅是逻辑思维；在三大能力之外提出了“逐步培养分析和解决实际问题的能力”．这进一步注意到解决实际问题的能力，可惜还是“逐步培养”。
1997年以后，创新教育的口号极大地促进了数学能力的研究。大学里纷纷开设“数学建模”、“数学实验’等课程。数学建模竞赛、应用数学知识竞赛也应运而生。特别地，高考、中考的数学新题型层出不穷。应用题、开放题、情景题、探索题大量涌现．这一切，都在数学能力上提出了新的要求．
1980年代，徐利治先生在《数学方法论选讲》中，就提出了“建立数学模型”的方法，但是在中学界反应平平．大量的数学方法论著作集中在波利亚的纯粹数学题的求解．一切都归结为用“化归”方法解数学题．这种情况到了1990年代后期开始改变．戴再平先生提倡的“开放题数学教学”一时风靡大江南北．研究性学习象一把火，照亮了数学教学前进的新路．
进入21世纪之后，国内外关于数学能力的提法又有新的变化 。
2000年，美国数学教师协会发布《数学课程标准》，其中提到6项能力：(1)数的运算能力；(2)问题解决的能力；(3)逻辑推理能力；(4)数学联结能力；(5)数学交流能力；(6)数学表示能力．后面的三条我们很少提到。 仔细想来，还是很有道理的。
奚定华等在最近出版的《高中数学能力型问题研究》中，强调在高考中要着重考察“一般数学能力”，其中包括以下4项：学习数学新知识的能力；探究数学问题的能力；应用数学知识解决实际问题的能力；以及数学创新能力。这些能力已经实际地反映在上海的高考命题之中．上海“能力立意”的考试命题方针，使得单纯依靠“大运动量训练的教学方法占不到便宜．以上4种能力，把“数学”两字换成“语文”“物理”也同样适用．因此称之为“一般数学能力”，和传统的“三大能力”不属于同一范畴．
2002年将颁布的全日制高中《数学教学大纲》，对高中学生应具备的数学能力有了更细致的描述．除了提到一般数学能力之外，更明确地界定了唯有数学学科才有的“数学思维能力”．它包括：空间想象、直觉猜想、归纳抽象、符号表示、运算求解、演绎证明、体系构建等诸多方面。这一提法涵盖了三大能力，但更全面、更具体、更明确。体现了数学思维从直观想象和猜想开始，通过抽象表示和运算，用证明演绎方法加以论证，乃至构成学科体系的全过程。
三、常规数学思维能力的界定
新颁布的数学教学大纲对常规的数学思维 能力作了界定，本文拟沿着这一思路作更具体的阐述，提出了以下10个方面．
（1)数形感觉与判断能力．一个问题摆在面前，首先要判断它是不是数学问题?是哪一 类数学问题?要能察觉其中的数学因素，例如方程求解、函数变化(微积分)、随机现象、几何描述、优化决策、计算算法等等．这是要能够对数学的本质有所理解，从宏观上能够进行大体的判断．
(2)数据收集与分析．数字化时代，数据无处不在．能够收集数据、关注数据、分析数据、驾驭数据，用各种数学方法，特别是数理统计方法指导自己的行动决策．
(3)几何直观和空间想象．能够感受物质存在的位置关系，构作几何图形，正确地加以描绘，并能体会其中的本质．
(4)数学表示与数学建模．会使用数学原理、符号、公式抽象地表示客观事物的发展规律，能够将具体的数量关系抽象为可以运算的数学模型．
(5)数学运算和数学变换．会按照运算规则熟练而准确地对数字和符号进行运算．理解等价关系，全等、相似、不等、恒等、恒不等，同构。掌握几何变换以及变换中的不变量．
(6)归纳猜想与合情推理．善于运用类比、联想、归纳等一般科学方法，观察数量关系，作出猜想。
(7)逻辑思考与演绎证明。 逻辑分类、排序、关系、流程．数学证明和科学证实的区别。演绎证明的价值.
(8)数学联结与数学洞察．返璞归真，掌握数学的本质，提炼为数学思想方法．欣赏数学的魅力．
(9)数学计算和算法设计．对数字与符号依一定算法进行运算的能力，对大量数据进行处理的能力，是公民生活的实际需要．
(10)理性思维与构建体系.掌握数学的理性思维特征，不迷信权威，不感情用事，不含糊马虎。在日常生活中能够数学地思考问题，并和别人进行数学交流。最终形成比较完整的数学思想体系。
四、数学创新能力的界定及其培养模式
数学创新能力，属于一般的数学能力。那么数学创新有什么特点?还应该有更进一步的阐述．具体说来也可分为以下10点 。
(1)提出数学问题和质疑能力。具有能疑、善思、敢想的品质．
(2)建立新的数学模型并用于实践的能力．
(3)发现数学规律的能力。包括提出定义，定理，公式．
(4)推广现有数学结论的能力．放松条件或加强结论．
(5)构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力．
(6)将不同领域的知识进行数学联结的能力。
(7)总结已有数学成果达到新认识水平的能力。
(8)巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力．
(9)善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。
(10)知道什么是“好’的数学，什么是“不大好”的数学。
培养数学能力需要有新的数学教学模式．我们的常规教学模式：复习—导入—讲授—巩固—作业，是为“传授知识”而设计的。它符合传授知识的客观规律，有重要的价值．但是它的形式是封闭的。 我们的任务是从封闭到开放，给学生以主动思考的空间。比如我们提 倡新的数学教学5环节：复习回顾——创设情景——师生互动——巩固反思——作业质疑，也许更适宜于发展学生的数学能力。除了上述的常规模式之外，我们应当尝试一些特殊的数学教学模式例如：(1)开放题教学模式；(2)探究式教学模式(研究性课题)；(3)活动式教学模式．(4)数学作文．(5)长作业教学等等．
(2)建立新的数学模型并用于实践的能力．
(3)发现数学规律的能力。包括提出定义，定理，公式．
(4)推广现有数学结论的能力．放松条件或加强结论．
(5)构作新数学对象(概念、理论、关系)的能力．
(6)将不同领域的知识进行数学联结的能力。
(7)总结已有数学成果达到新认识水平的能力。
(8)巧妙地进行逻辑联接作出严密论证的能力．
(9)善于运用计算机技术展现信息时代的数学风貌。
(10)知道什么是“好’的数学，什么是“不大好”的数学。
培养数学能力需要有新的数学教学模式．我们的常规教学模式：复习—导入—讲授—巩固—作业，是为“传授知识”而设计的。它符合传授知识的客观规律，有重要的价值．但是它的形式是封闭的。 我们的任务是从封闭到开放，给学生以主动思考的空间。比如我们提 倡新的数学教学5环节：复习回顾——创设情景——师生互动——巩固反思——作业质疑，也许更适宜于发展学生的数学能力。除了上述的常规模式之外，我们应当尝试一些特殊的数学教学模式例如：(1)开放题教学模式；(2)探究式教学模式(研究性课题)；(3)活动式教学模式．(4)数学作文．(5)长作业教学等等．
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