对“蚂蚁怎样走最近？”的进一步探究

新教材在勾股定理的应用中，引进了一个非常具有趣味性，也能对学生的空间观念的发展起到促进作用的问题——“蚂蚁怎样走最近？”然而，由于从教学时间和学生按受能力等方面考虑，教材对此问题的探讨并没有完全展开。对于学有余力的同学，还可以从以下几个方面进行进一步的探讨。



R

D

B‘

一、圆柱体表面上的路径

H

C

A

B

设圆柱底面半径为R，高为H。

1、蚂蚁从A到D到B的路程为

L1=H+2R

2、蚂蚁从侧面爬行，即展开后从A到B‘的路程为

L2= √H2+（2ЛR）2

由于 L12=（H+2R）2=H2+（2R）2+4HR=H2+4R2+4HR

L22=H2+4Л2R2

即 L12—L22=4R2+4HR—4Л2R2=4R（R+H—Л2R）=4R[H—R（Л2—1）]

所以（1）当 H—R（Л2—1）＞0，即H：R＞Л2—1时，L1＞L2；

（2）当 H—R（Л2—1）=0，即H：R=Л2—1时，L1=L2；

（3）当 H—R（Л2—1）＜0，即H：R＜Л2—1时，L1＜L2；

可见，蚂蚁是否应当爬侧面，以圆柱体的高与半径的比有关。



B

二、长方体表面上的路径

b

B

A

b

c

a

a

c

B

A

a

b

A

D

C

A

1、直接沿棱与对角线爬行（上图）

A—C—B：L1=√a2+b2 +c

c

A—D—B：L2=√a2+c2 +b

A—E—B：L3=√b2+c2 +a

E

2、按前、上面展开，沿侧面爬行（中上图）

L4=√a2+（b+c）2

3、按前、右面展开，沿侧面爬行（中下图）

L5=√（a+b）2+c2

4、按下、右面展开，沿侧面爬行（下图）

C

L6=√（a+c）2+b2

于是，

L12=a2+b2+c2+2c√a2+b2

A

L22=a2+b2+c2+2b√a2+c2

L32= a2+b2+c2+2a√b2+c2

L42= a2+b2+c2+2bc

D

L52= a2+b2+c2+2ab

L62= a2+b2+c2+2ac

（1）由中上图可知，显然 L1＞L4；



（2）由中下图可知，显然 L2＞L5；

（3）由下图可知， 显然L3＞L6

（4）由于 L42—L52=2bc—2ab=2b（c—a）

所以 当c＞a时，L4＞L5

当c=a时，L4=L5

当c＜a时，L4＜L5。

（5）由于 L c

a

B

A

52—L62=2ab—2ac=2a（b—c）

所以 当b＞c时，L5＞L6

/>
b

当b=c时，L5=L6

当b＜c时，L5＜L6

E

综上（1）——（5）所述：

当b＞c＞a时，L4＞L5＞L6，又L1＞L4，L2＞L5，

所以，此时L6为最短的路径；

当b=c=a 时，L4=L5=L6，又L1＞L4，L2＞L5，

所以，此时 L6（或L4或L5）为最短路径；

当b＜c＜a时，L4＜L5＜L6，又L1＞L4，L2＞L5，L3＞L6，

所以，此时 L4为最短路径。

由此可见，我们应将a、b、c中较小的两条棱展开成直角三角形的一条直角边，而使最长的棱成为该直角三角形的另一条直角边，这样，所构成的直角三角形的斜边就是最短的路径。