“形”之有效

    摘 要：在教学中，与学生共同研究“函数值域的解法”时，一些同学就数形结合法解题时，常遇到一些问题，本文就它独特的数形结合解题法作了一些对比，特别是对 模型类作了较详细的比较，而对其他文章介绍过的一些方法作了简单介绍或不加介绍。
   本文分三大部分：
   一、引言
   二、解法比较举例
   三、注意的问题
   
   
   
   关键词：数形结合 模型 临界位置
    
   
   “形”之有效
   ——谈求函数值域中数形结合解法及其它解法的比较
   
   一、引言
   所谓数形结合，就是根据数学问题和结论之间的内在联系，既分析其代数含义又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题思路，使问题得到解决。
   “数”与“形”是一对矛盾，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面，会不会进行数式信息与形象信息的等价转换，反映了数学素养。数形结合是一个重要的数学方法，是人们存在大脑中的两种基本思维形式。
   二、解法比较举例
   例1：求函数 的值域。
   解法一：由 变形得到：
    ∴
    
    
    
   
   
   解法二：
   可看作点A（2，0）与圆 上
   的点的连线斜率的相反数
    由图形可知 与 位置就是边界位置。
    显然
    
    
    
   解法一：是利用转化成一个有界函数来求解；
   解法二：是利用数式的几何意义，即用“形”的思想解决问题，其“形”的模型是 即两点 及 连线斜率。涉及图有圆、点。
   例2、用 的值域。
   法一：用 有界即：
   解：
    
    解得：
   法二：用“形”的思想解题，赋式子 于新意。
   解：由 可以看成是M（2，2）与动点P（ ， ）连线的斜率。又点P是在 ∴P（ ， ）的轨迹是如图所示的AB线段，其中A（-1，1）、B（1，-1）
    
    
    即：
   注：涉及的图形有：线段、点 ，模型依据
   例3：求 的值域：
   法一：原函数可化为：
   法二： ，
    
   法三：
   记
    ，则方程 在（0，+∞）上有解的充要条件为：
    即
   法四： 可以看作是P（ ，1）到动点M（ ， ）连线的斜率，M点在y=x（x＞0）上，所以如图所示：
    过P作两条直线
    ：即PO直线
    ：即与y=x平行的直线
   要使所作连线与y=x（x＞0）有交点，
   
   则须： ＜y＜ 即： ＜y＜1
   注：涉及图形：点、射线 模型依据： 及极限位置。
   又如例4：求 的值域：
   法一：“△”法。
    ＞0
    的定义域
    关于 的方程有实数解 ，
    时， =0成立
   当 △=
   即 即
   法二：
   ①当 时，
   ②当 时，
   此时， 可以看成是动点M（ ， ）与定点N（－1， 1）连线的斜率。 又M横纵坐标相等
   ∴M在 上，又 ＞0时， ； ＜0时，
   ∴M是在 上的两条射线上运动。（图形如下 ）
    
    当M在M1A射线运动时，斜率逐步递增
    
    
    当M在M2B射线运动时，斜率逐步递减
    
    
    
   注：涉及两条射线及点 模型依据： 及极限位置。
   例5：求 值域
   法一：解： 在定义域 上单调递减，
   故
    
   法二：设 则
    （ ）
   图象如左：
    
    
   注：涉及二次函数图形中的单调性研究
   例6：求 的值域
   法一：设
   则
    知
    时，
    时，
    
   法二：设 ， ，则 （ ， ）
    这表示一个圆的上半部分
    又 则看成 、 为变量
    当 为常数是一组直线，且斜率为 ， 为
   两轴上的截距，如左图
    仅当 位置时，
   仅当 位置时，
    
   例7：求 的值域。
   解法一：令 ， 则 （ ， ）
    可设： （ ）
    则
   由 得
   知 故
    法二：令 ，
   则 （ ， ）…………①
    …………②
   如图所示：①式表示的图为一以原点为圆心的圆的第一象限（包端点）部分②式表示斜率为 的直线系，其对应的倾斜角为：
   ∴ 与 为所有 中与 有公共点的临界位置直线可算得直线在 上的截距 ，
    ， ∴
   注：涉及图有圆、直线及直线与圆的位置关系，倾斜角及直线在纵轴上的
   截距。
   例8：求函数 的值域。
   解法一：
   设 ，则 ，
   则
    [ ，+ ]
   注：模型依据：复数中的模的几何意义及 。
   解法二：
    =
   表示：平面直角坐标系中X轴上的点P（X，0）到两定点A（0，2）、B
   （-1，3）的距离之和。
    如图，有
    [ ，+ ]
   注：模型依据：平面解析几何中的点点距离；
   平面几何中的对称。
    
   三、注意的问题：
   进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：一是通过坐标系统的建立，引入参变量，化静为动，以动求解；二是转化；三是构造，即构造几何模型，构造函数或构造一个图形。
   运用数形结合思想方法分析解决问题时，要把握三个原则：一是等价原则，要注意图形不能精确刻画数量关系所带来的多面效应；二是双向性原则，即既要进行几何直观分析，又要进行相应代数抽象探索，仅对代数问题进行几何分析容易失真；三是简单性原则，不要为了“数形结合”而数形结合，而取决于有效、简便和更宜达到教学。
   具体操作上，一要考查可行性和是否有利；二要选准突破口，恰当设参、用参，建立关系，做好转化；三是挖掘隐含条件，正确界定参数范围。