简单的线性规划”及实习作业教学建议

    
   一、 教材的目的要求：
   1． 能画出二元一次不等式（组）表示的平面区域；
   2． 了解线性规划的意义，能用图解法解决简单线性规划问题；
   3． 利用线性规划的图解法解决一些实际生活中简单的最优化问题；
   4． 通过研究性学习，培养学生搜集、分析整理信息能力，学会沟通合作，培养探索研究能力和应用所学知识解决实际问题的能力
   二、 内容分析：
   本节为新教材新增内容，新教材高考考试说明对这部分的要求为：了解二元一次不等式表示平面区域、了解线性规划的意义，并会简单的应用。近年新高考未在大题中涉及这一内容，故教学不宜过深过难；但这一方法体现了数学中转化的思想，应加以注意，提升学生的思维品质。
   课本探讨了二元变量的简单线性规划问题，根据学生水平引入了图解法求最优解。用线性规划方法解决实际生活问题时，应先抽象成数学问题，用数学语言表达约束条件及解题目标，明确目标函数的几何意义，再利用图解法。简单线性规划的意义在于利用化归、转化、数形结合等数学思想方法解决实际问题，发展学生的观察能力、阅读翻译能力、建模能力、数学运算能力。
   由于线性规划应用广泛，在生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题中都可以作为决策的依据，学生较容易搜集数据。简单线性规划有常见的三种问题模式，解决方案也较易操作，教材在本节安排了实习作业，让学生根据调查研究，提出问题、分析问题、解决问题，培养学生的查阅资料能力、交流合作能力、建模能力及运用数学知识解决实际问题的思维习惯。
   根据教学大纲及高考考试说明，本节的重点在于如何用平面区域表示不等式（组）的解、对实际问题建立适当模型，应用线性规划得出最优解，其难点在于建模及最优解的确定。
   三、 教学建议
   按照教学大纲要求，这部分安排7课时，前三节给出简单线性规划求解基本方法，后四节为研究性学习。下面从以下几个方面谈谈教学建议
   一）简单线性规划部分
   1． 平面区域的确定：
   对此教科书上采用了直线定界、取点定侧的方法。那么可否上下定侧或左右定侧？
   在这里比较容易想到的是上下定侧，只要将不等式改写成类似于直线方程斜截式的形式就可以了。但这种做法的缺陷在于——需要变形，既然这一做法与直线方程有关，能否利用直线方程的其他形式，作为二元一次不等式的基本形式又是什么？是类似Ax+By+C>0的形式，可以用直线方程的一般形式对比吗？研究对比可知，只要A值为正，那么必然有，在直线Ax+By+C=0左侧的区域对应的不等式为Ax+By+C<0,其右侧的区域则对应不等式Ax+By+C>0。
   2． 线性规划的教学与思考：
   A）线性约束条件及目标函数：
   在本节教材中线性约束条件主要是以不等式（组）形式给出的，对于目标函数，引入参数并确定其几何意义，用图解法确定最优解。这就要求学生作图准确，并且制定恰当的解题标准。
   如：课本P60页的例子，可提出如下问题：
   ⑴目标函数Z=2x+y，令2x+y=t，当直线向右上方平移时，t增大，为什么？（明确线性目标函数的几何意义）
   ⑵如果改变目标函数，最值可否在C点或其它位置取得？（培养学生多角度思考问题，渗透逆向思维）
   ⑶满足该约束条件的整点解有多少个？（结合图形寻找最优解，实际问题中更多的是要确定整点解，为用线性规划解决实际问题做铺垫，分散后几节课的难点）
   B）线性规划问题，其重点是建模并寻求最优解。
   根据中学实际可解的简单线性规划问题仅含两个变元，所以建模必须突破确定变量、寻找约束条件、给出目标函数的几何意义这几个问题。
   教科书上给出的两个例子，建模时变元的确定较为简单，应注意实际问题的一些隐含条件。
   关于建模，可增加如下的例子：
   已知△ABC的三边长a、b、c满足b+c≤2a，c+a≤2b，求 的取值范围（ ）
   关于确定最优解，对课本P61例3应说明清楚以下问题：
   ⑴结合图形思考时，直线方程中各项系数较大时，画图要适当缩放；
   ⑵给出图形中为什么点M为最优点，有无可能是其他点？判断最优解的标准是什么？学生讨论后可发现直线的斜率是关键；
   ⑶近似计算的方法
   数学上求近似值主要有以下原则：四舍五入、取整、进一，对于例3近似值确定的原则是什么？为什么要这样？学生思考后可发现此题求近似值的依据在于使目标函数达到最优化。进一步提出问题：若x=12.1，y=34.5，目标函数z=3x+5y是多少？那么，书上得到的是最优解吗？为什么会这样？分析可知, 书上出错的原因在于此题的目标函数中，变量x、y的权重有所不同，因此较复杂问题应利用计算机模拟问题求解。培养学生质疑这一思维品质。
   对于课本P63例4， 整点最优解是一个难点，教材是先观察图形得出非整点最优解，再尝试求出整点解，但假如整点解得出的最优值数值较大，尝试过程将相当复杂。教学中怎样优化运算？笔者认为，可依据过点A的直线方程为 ，判断过可行域内的整点时x+y≥12，利用直线x+y=12与区域边界2x+y=15及x+3y=27的交点确定变量x或y的取值范围，再求整点解；如此范围无整点解，再找直线x+y=13与区域边界的交点，依上法运算即可。
   二） 实习作业
   根据新大纲要求，本节内容划分为四课时。学生的实际调查、探究活动安排在课余时间完成，课堂教学安排三课时，第一节介绍线性规划在实际中的常见问题，布置开展活动的准备工作，第二、三课时安排研究成果展示、评估和交流。
   由于实习作业是为学生开展研究性学习做准备的，因此，第一节课教学目标是使学生明确什么是线性规划问题，作为中学可解的线性规划问题的约束条件主要从哪些方向寻找，问题如何提出等等。
   教学过程设计：
   1） 课前由学生自由分组，每组六人左右。
   2） 阅读课本,小组讨论,明确以下问题:（需时25分钟左右，老师巡视）
   a) 线性规划问题的数学模型是什么?
   b) 中学可解的线性规划问题特点，解题步骤
   c) 线性规划的的理论和方法主要用于解决哪类问题?用自己的话描述
   d) 线性规划的常规问题的约束条件有哪些?最优解方向有哪些?除了书上给出的约束条件及解题目标,你想还可以有什么?用下面的表格总结出来
   模式 线性约束条件考虑的因素 最优解目标
   物资调运问题
   产品安排问题
   下料问题
   除了书上给出的模式,你觉得线性规划的思想方法还可以解决日常生活中的哪些问题,应寻找哪些约束条件?目标应设定为什么?
   e) 思考书上给出的问题，如果能用线性规划解决，请指出是上述哪类问题，并完成建模步骤