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加倍折半法的运用和引申
作者：佚名 来源：本站整理 发布时间：2008-8-12 8:42:50
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增大字体 课本的内容不仅仅是知识，更是培养能力的载体，加倍折半法是平面几何证明线段（或角）的倍半关系的传统方法，这类题的解决方法，正是培养“能力”的好素材，对它们进行归纳、总结，乃至更进一步的研究，恰恰就是真正意义上的素质教育。然而，现实中大量的倍半关系的证明题，直接用传统的加倍折半法却不能够得到解决。但如果对这一传统的方法加以引申，那么情形就完全不一样了。以下便是本人从“方法”和“用途”两方面，对加倍和折半法所做的引申。
一、 加倍折半法“方法”的引申
加倍折半法的关键是如何“加倍”、“折半”。那么“加倍”、“折半”的方法又是什么呢？传统的“加倍”的方法，是将线段延长一倍；传统的“折半”的方法，是取线段的中点。岂不知，“三角形中位线定理”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“等腰三角形的三线合一性质”、“平行线等分线段定理”……均有“加倍、折半”的功用。也就是说“加倍”“折半”的方法是众多的、丰富的。而这些的方法基本上都是来自上述的一些重要的定理。
例1 已知：△ABC中，AB=AC,延长AB到D，使DB=AB，E是AB的中点。求证：CD=2CE
思路一：延长CE到F1，使EF1=CE，即用
延长的方法将CE扩大一倍为CF1，证CF1=CD
思路二：取CD的中点，即用“取中点”的方法将CD缩小一半为CF2，证CF2=CE。
以上为“传统”的加倍折半法，引申后则有：
思路三：抓住E为AB中点这一特点，作△ABF3，使CE为该三角形的中位线（过A作AF3∥CE，交BC的延长线于F3），即用三角形中位线定理将CE扩大一倍为AF3，证AF3=CD
思路四：抓住B为AD中点这一特点，作△ADC以CD边为底边的中位线（过B作BF4∥CD，交AC于F4），即：用三角形中位线定理将CD缩小一半为BF4，证BF4=CE
二、 对加倍折半法“用途”的引申
传统的加倍折半法主要应用于线段（或角）倍半关系的证明。随着“方法”的引申，其功能也随之得到了增强。特别是完全领会了加倍折半法的基本思想后，许多疑难问题就会迎刃而解。它的用途远远超出了原先的范围，几乎适用于所有含“2”的类型题。下面，分“结论中含有2”和“题设中含有2”两中情况作简单的介绍。
1、加倍折半法来解“结论中含有2”的类型题，实际上就是“分析法”的一种具体应用。“加倍折半法”在此起的作用，也可称之为“解题技巧”。例1属于该种类型的“传统”例题，下面举几个引申后的例子。
例2 已知：△ABC中，D是BC上的中点，F是AD上的任意一点，延长CF交AB于E。求证：AF：DF=2AE：BE
思路：本题的难点是如何除去比例式中的“2”
方法一：将AE或DF“加倍”，由于D是BC的中点，
过点B作BG∥DF，交CE的延长线于G，则用三角形中位线定理将DF“扩大一倍”为BG。这样，原题就有效的转化为证明AF：BG=AE：BE。
方法二：是将AF或BE“折半”，由于D是BC的中点，过点D作DH∥AB，交CE于GH，则用三角形中位线的定理将BE“缩小一半”为DH。这样，原题就有效的转化为证明AF：DF=AE：DH。
2、用加倍折半法来解“题设中含有2”的类型题，实际上就是“综合法”的一种具体的应用。“加倍折半法”在此起的作用，可称之为“解题经验”。
例3 已知：△ABC中，AD是高线，∠ABC=2∠ACB。求证：CD=AB+BD
思路：该题属于“截长补短法”的习题，
但由于已知条件中有角的倍半关系，因
而用“加倍折半法”的思路也可以解决。
思路一：延长DB到E1，使BE1=BA（造等腰三角形将∠ABC“折半“为E1），则∠E1=∠C，AE1=AC，CD=DE1，故CD=AB+BD
思路二：作∠CAE2，使∠CAE2=∠C（造等腰三角形将∠C“加倍”为∠AE2B），则∠AE2B=∠ABC，AE2=E2C=AB，BD=DE2，故CD=AB+BD。
已上，是本人对加倍折半法的引申，本人多年的教学实践体会是：一、凡是与“2”有关的题，大多都能用此方法解决；二、通过此方法的学习，学生对“三角形中位线定理“及其它的有关的重要定理的用途理解的更加深刻（定理的用途往往被许多人所忽视），对定理的内容也记忆的更加深刻；三、通过对此方法的学习，学生对“几何辅助线”有了正确的认识，觉得几何辅助线的作法是有章可循的，并不是需要通过大量的做题去积累什么“经验”，不再认为它很神秘了；四、学生学习几何的兴趣和信心明显有了提高。
一、 加倍折半法“方法”的引申
加倍折半法的关键是如何“加倍”、“折半”。那么“加倍”、“折半”的方法又是什么呢？传统的“加倍”的方法，是将线段延长一倍；传统的“折半”的方法，是取线段的中点。岂不知，“三角形中位线定理”、“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”、“等腰三角形的三线合一性质”、“平行线等分线段定理”……均有“加倍、折半”的功用。也就是说“加倍”“折半”的方法是众多的、丰富的。而这些的方法基本上都是来自上述的一些重要的定理。
例1 已知：△ABC中，AB=AC,延长AB到D，使DB=AB，E是AB的中点。求证：CD=2CE
思路一：延长CE到F1，使EF1=CE，即用
延长的方法将CE扩大一倍为CF1，证CF1=CD
思路二：取CD的中点，即用“取中点”的方法将CD缩小一半为CF2，证CF2=CE。
以上为“传统”的加倍折半法，引申后则有：
思路三：抓住E为AB中点这一特点，作△ABF3，使CE为该三角形的中位线（过A作AF3∥CE，交BC的延长线于F3），即用三角形中位线定理将CE扩大一倍为AF3，证AF3=CD
思路四：抓住B为AD中点这一特点，作△ADC以CD边为底边的中位线（过B作BF4∥CD，交AC于F4），即：用三角形中位线定理将CD缩小一半为BF4，证BF4=CE
二、 对加倍折半法“用途”的引申
传统的加倍折半法主要应用于线段（或角）倍半关系的证明。随着“方法”的引申，其功能也随之得到了增强。特别是完全领会了加倍折半法的基本思想后，许多疑难问题就会迎刃而解。它的用途远远超出了原先的范围，几乎适用于所有含“2”的类型题。下面，分“结论中含有2”和“题设中含有2”两中情况作简单的介绍。
1、加倍折半法来解“结论中含有2”的类型题，实际上就是“分析法”的一种具体应用。“加倍折半法”在此起的作用，也可称之为“解题技巧”。例1属于该种类型的“传统”例题，下面举几个引申后的例子。
例2 已知：△ABC中，D是BC上的中点，F是AD上的任意一点，延长CF交AB于E。求证：AF：DF=2AE：BE
思路：本题的难点是如何除去比例式中的“2”
方法一：将AE或DF“加倍”，由于D是BC的中点，
过点B作BG∥DF，交CE的延长线于G，则用三角形中位线定理将DF“扩大一倍”为BG。这样，原题就有效的转化为证明AF：BG=AE：BE。
方法二：是将AF或BE“折半”，由于D是BC的中点，过点D作DH∥AB，交CE于GH，则用三角形中位线的定理将BE“缩小一半”为DH。这样，原题就有效的转化为证明AF：DF=AE：DH。
2、用加倍折半法来解“题设中含有2”的类型题，实际上就是“综合法”的一种具体的应用。“加倍折半法”在此起的作用，可称之为“解题经验”。
例3 已知：△ABC中，AD是高线，∠ABC=2∠ACB。求证：CD=AB+BD
思路：该题属于“截长补短法”的习题，
但由于已知条件中有角的倍半关系，因
而用“加倍折半法”的思路也可以解决。
思路一：延长DB到E1，使BE1=BA（造等腰三角形将∠ABC“折半“为E1），则∠E1=∠C，AE1=AC，CD=DE1，故CD=AB+BD
思路二：作∠CAE2，使∠CAE2=∠C（造等腰三角形将∠C“加倍”为∠AE2B），则∠AE2B=∠ABC，AE2=E2C=AB，BD=DE2，故CD=AB+BD。
已上，是本人对加倍折半法的引申，本人多年的教学实践体会是：一、凡是与“2”有关的题，大多都能用此方法解决；二、通过此方法的学习，学生对“三角形中位线定理“及其它的有关的重要定理的用途理解的更加深刻（定理的用途往往被许多人所忽视），对定理的内容也记忆的更加深刻；三、通过对此方法的学习，学生对“几何辅助线”有了正确的认识，觉得几何辅助线的作法是有章可循的，并不是需要通过大量的做题去积累什么“经验”，不再认为它很神秘了；四、学生学习几何的兴趣和信心明显有了提高。
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