中考数学试题与素质教育

   中考试题对初中教学起着“指挥棒”的作用，在素质教育的新形势下，如何搞好中考命题，将直接影响初中段教学如何实施素质教育。本文根据近年来的中考数学试题谈谈如何在数学命题中落实素质教育的几个主要方面。
   1、思想政治素质
   教学大纲指出：“培养学生的科学态度和辨证唯物主义的观点，------，培养学生的爱国主义思想，民族自尊心，为国家富强、人民富裕而艰苦奋斗的献身精神”。德育渗透于数学教学是时代的需要，也是数学本身的一项重要任务。
   例1、据《新华日报》消息，巴西医生马廷恩经过十年苦心研究后得出结论：卷入腐败行为的人容易得癌症、心肌梗塞、过敏症、脑溢血、心脏病等。如果将犯有含贪污、受贿罪的290名官员与300名廉洁官员进行比较，可发现，后者的健康人数比前者的健康人数多136人，两者患病共222人，试求犯有贪污、受贿罪官员的患病率和廉洁官员的患病率。(浙江湖州市1996年中考题)
   在反腐败斗争呼声很高的1996年，这道题目的社会价值是不言自明的.
   2、阅读理解素质
   透彻理解课本中的必学内容，认真总结解题的规律方法，是学好数学的关键环节。阅读理解题在中考试题中的出现，就充分地体现了这一精神，并发挥着其特有的功能，它不仅考查学生阅读理解和整理知识的能力，同时提醒学生平时要克服囫囵吞枣、不求甚解的不良习惯。该类题目构思独到、禺意深刻、令人叫绝。
   阅读理解素质可以说是学好数学最重要的一种素质.
   例2、先阅读下列一段文字，然后解答问题。
   某农场300名职工耕种51公顷土地，分别种植水稻、蔬菜和棉花。种植这些农作物每公顷所需要的工人数如表1所示。
   设水稻、蔬菜、棉花的种植面积分别为x公顷、y公顷、z公顷
   (1)用含x的代数式分别表示y和z为：y=______；z________
    (2)若这些农作物的预计产值如表2所示，且总产值p满足关系式：360
   ≤p≤370(x、y、z均为整数)，求这个农场应怎样安排水稻、蔬菜、棉花的种植面积？
   表 1 表 2
    农作物 每公顷所需的人数 农作物 每公顷预计的产值
    水 稻 4 水 稻 4.5万元
    蔬 菜 8 蔬 菜 9万元
    棉 花 5 棉 花 7.5万元
   (江苏镇江市1997年中考题) 。
   例3、问题：你能比较两个数19971998和19981997的大小吗？
   为了解决这个问题，我们先把它抽象成数学问题，写出它的一般形式，即比较n n+1和(n+1) n的大小(n是自然数)。然后，我们从分析n=1，n=2，n=3，┅,这些简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论。
    (1)通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>” 、“=” 、“< ”号)：
    ① 12_____21 ； ② 23______32 ； ③ 34______43 ； ④ 43______54 ； ⑤ 56_____65 ；┅┅
   (2)从第(1)题的结果经过归纳，可以猜想出n n+1和(n+1) n的大小关系是：_________；
   (3)根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小：
   19971998_____19981997(江苏常州市1997年中考题)。
   说明 本题的设计很独特，从“简单情形入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论” 。这是创造性思维的规律。本题考查的是学生探索规律的能力。为比较两个数19971998和19981997的大小，本题设计了三个小题，层层递进，设置思维梯度，使试题既具趣味，又有一定的思维深度。
   3、数学思想方法素质
   数学思想方法素质的高低，决定着数学能力的强弱。命题者历来重视数学思想方法的考查，每年的中考数学试题都有目的地测试一些常用的、重要的数学思想方法，如函数思想、方程思想、数形结合思想、整体思想、化归思想、换元思想、配方法、待定系数法等等。
   例4、若不等式(ax―1)(x+2)>0的解集是-3    (A) (B)- (C)3 (D)-3
   (湖北宜昌市1995年中考题)
   解：若设变量y与x的对应关系为y=(ax–1)(x+2)，
   即y=ax2+(2a–1)x–2 (*)
   显然这是二次函数，其图象与x轴交于点(–3，o) 、(–2，0 ) ，
   将(–3，0)代入(*)，即可解得a=– ，故选(B)
   说明 由于义务教材删减了一元二次不等式求解的内容，而在函数及其图象的有关习题中研究了不等式与函数的关系，可见用函数思想处理一元二次不等式的有关问题，既有理论依据，也有实用价值。
   例5、如图，巳知等边△ABC中，点P、Q、R分别在AB、BC、CA上，且PQ⊥BC，QR⊥AC，RP⊥AB .
   (1)求证：△PQR是等边三角形；
   (2)如果△ABC的面积是S，求△PQR的
   面积(上海市1990年中考题).
   分析：证△PQR是等边三角形，只需证PQ=QR=RP即可.设AB=BC=CA=a，PA=x，BQ=y，CR=z，应用几何的有关性质、定理，
   寻找各几何量的关系，联立方程组，解之.
   证明：(1)Rt△APR中，∠A=600，
   则AR=2x，
   ∴ .
   同理BR=2y， ；CQ=2z，
    ．
    ∴ ∴x=y=z= a． ∴ RP=PQ=QR= ，
    ∴ΔPQR是等边三角形。
    解 (2)：∵ΔPQS∽ΔABC，且SΔABC=S ．
   　　　∴ =
   　　　∴ＳΔＰＱＲ＝ ．
   　　说明 问题(1)采用方程思想来解决几何问题，简洁明快，它既体现了方程思想，又体现了数形结合思想在解题中的运用．
    　例6、若a、b、c是ΔABC的三边，∠C=900，c边上的中线长为1，三角形的周长为2+ ．
   　　(1)求作以两直角边为根的一元二次方程；
   (2)求ΔABC内切圆的半径；
   (3)求tg +tg 的值(呼和浩特市1994年中考题)．
   此题源于原《平面几何》第二册106页的第3题．
   分析 (1)由题设知两直角边为a、b，要求作以a、b长为根的一元二次方程，只要求出a+b与ab的值，代入x2―(a+b)x+ab=0中就可得到所求方程．
   由RtΔABC的周长为2+ ，斜边中线是1，得a+b= ，再与勾股定理联立解得ab=1，于是可得所求作的一元二次方程．
   (2)由切线长定理得(a―r)+(b―r)=c
   则r= (a+b―c)= ( ―2)．
   （3）要求 的值，必须出现 和 的角，由切线长定理告诉我们须连结AO、BO，然后由正切函数定数定义和（1）、（2）的有关结论，就可求出 的值。
   解 如图，（1）∵∠C=300，CD=1
   ∴c=AB=2CD=2
   ∵a+b+c=2+ ，
   ∴a+b=2+ -c=
   于是（a+b）2 =6，
   即a2+2ab+b2=6，
   ∵ a2+b2=c2=4，
   ∴ab=1
   故所求的二次方程是x2－ x+1=0
   （2）∵四边形FCGO是正方形，∴CF=CG=r
    　由切线长定理，得a-r+b-r=c
   ∴ｒ＝ (a+b–c)= ·
   (3)∵⊙0内切于RtΔABC，
    ∴∠0AE= ∠A，∠0ABE= ∠B，
    ∵⊙0与AB边切于点E，
    ∴∠AEO=∠BEO=90o，
   ∴tg = tg ．
   则tg
    =
    =2× ．
    　说明 解决问题(1)的关键是求出ab的值，由a+b= ,联想到完全平方公式中就出现ab的形式，所以将a + b = 的两边平方，就求出ab的值，这是数学中常用的一种解题技巧—整体思想．
   由于涉及数学思想方法的例子很多，限于篇幅，此处略．
   素质教