（附图 {图}）
    训练前，通过率为５４．９％，学生的困难在于他们虽有了一定的对应观念，但还不能实际地运用，认识 不到各图形间的关系。所有不能解答这个问题的学生的共同特点是，总是试图通过数数来解决问题。这说明小 学一年级学生还保留着学龄前期的直觉行动思维的特点。但经过几次训练之后，对于同等难度的题目通过率上 升为６７．６％。这说明虽然低年级学生思维直观性较强，但教师有意识地培养训练学生的抽象概括、灵活运 用知识的能力，还是能发挥学生的潜力的。
    ２、守恒是指改变一个物体的物理性质－－改变其形状、长度、方向和位置，并不改变其原有的总量。守 恒是随着可逆性概念的发展而来的。按照皮亚杰的理论，小学一年级学生正处于思维发展的具体运算的开始阶 段，他们已具有进行更高级的构造型数学活动的准备性，但还没有达到守恒性。我们的训练证实了这一点，训 练开始时学生对数量守恒、重量守恒、液体守恒、面积守恒的通过率分别为４７．１％、５８．３％、５２． ４％、５４．３％，都只有一半左右的同学具有一定的守恒性。所有不能完成题目的学生，他们都不能根据物 体的各种属性的关系来分辩物体的不变性，如：高、矮和宽、窄之间的抽象关系，他们的思维受物体的空间排 列和形体变化的影响。但经过训练后，学生对各种守恒基本上都能掌握，通过率在７５％－８４％之间，说明 小学一年级儿童已具有一定的学习准备性，可利用适当的教学内容与方法使这种准备性成为现实。
    ３、分类。学生对于有明确的分类标准的题目及单因素特征的题目掌握较好，训练前通过率分别是７６． ８％和７１．６％。经过训练后，同等难度的题目８０％以上的学生均能掌握，说明一年级学生部分与整体及 有关的概括能力在适宜的教学条件下可以得到一定发展。但对于自定分类标准和多因素特征分类的题目，学生 掌握得很差，训练前通过率仅为４．５％，大部分学生对这种类型的题目无从下手，有一部分学生只能按一种 标准进行分类。通过训练，同类型题目通过率上升为２４．４％，这说明小学一年级学生思维主要以直观思维 为主，自定标准分类要求学生有较强的独立工作能力，尤其多因素的分类，涉及到同时既是一种属性的全部， 又是另一种属性的一部分的部分与整体关系，这要求学生能理解全类中的一小类与全类的大小关系即解决分类 包含的问题，也要理解一事物具有几种属性和不同事物具有同一属性的逻辑关系，从多因素的分析中解决分类 问题。这种对数学材料的较高水平的概括不是一年级学生所能解决的。这个结果提醒我们，数学教学要适合儿 童的思维特点，不能单纯求快求难，超出儿童的认知发展水平。
    ４、数概念是集合数（基数）和顺序数（序数）两者的结合，学生要理解和运用数概念，需要在序列化的 集合中把握数的概念。一年级学生对序数已初步掌握，对单纯的序数题，通过率为８３％，对复杂一些的基、 序数混合题通过率仅为４８．３％。许多学生在回答这种类型的题目时，往往弄不清什么是基数，什么是序数 ，以致把题做错，说明学生对基、序数概念的掌握还不是很牢固。经过讲解、训练，大部分学生对这类题目都 能完成。但对运用基、序数知识解决实际问题的题目，完成得很差。如：“小朋友排成一队，从前面数林林排 第８名，从后面数林林排第７名，问这队小朋友共有多少人？”此题通过率仅为１４．１％，没有答对的学生 遇到此种类型的题目，往往将８与７进行相加，而没有考虑到序列的排列，将结果减１。而在做“小朋友排成 一队，林林前面有７个人，后有８个人，问这队小朋友共几人？”题目时，没有考虑到这是个基数问题，在计 算时结果忘记加１。这些结果说明，小学一年级只有少部分学生具有对基、序数关系的概括运用能力。
    ５、数概念形成的最重要标志是：能明确地把握住数群结构，自由地进行分解组合。小学一年级学生对１ ０以内数的分解组合已经基本掌握，对于与书上形式一样的题目，通过率可达９５．７％，但他们使用数的分 解组合的知识解决实际问题的能力却很差，如“有１２个小朋友排成两队，如果一队有１人，那么另一队有１ １人，想一想，这些小朋友共有几种排法？”
    ____________________________________________________________
    如果一队有→１……………………
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    那么别一队有→１１……………………
    ____________________________________________________________
    这道题的通过率只有５．１％，说明小学一年级学生对数概念的理解深度和概括化程度还很低，对于那些 需要重新组织自己的已有知识经验，具有较大的思维灵活性和创造性的题目，还不能顺利解决，经训练后通过 率则上升为３７．８％。这个结果说明，只要我们抓住数概念的基本内容，在教学中注意与实际问题相结合， 引导学生运用已有知识，他们的成绩会有显著的进步。
    ６、对数量关系及其它数学材料的概括与推理能力，是数学能力结构中起主导作用的因素，也是学生掌握 和运用数概念所必需具备的最基本的能力。从训练中我们可以看到，小学一年级学生对具体事物的概括以及数 列间异同的概括能力较好，通过率在８０％以上，说明大部分同学已具有一定的概括能力。
    推理题目类型有形象的图形推理、抽象的文字推理以及数列推理，通过训练发现，小学一年级学生总体来 讲，推理能力较差，而相对这三种形式的推理情况来看，形象的图形推理最好，数列推理次之，文字推理最差 。如：
    （附图 {图}）
    通过图形表示出来，通过率为３５．９４％，而相似的题目用文字表示出来，通过率仅为１９．１％，这 说明直观形象的推理早于抽象的推理。
    ７、对空间关系的知觉能力，也是数学能力的主要因素之一。学生们对一维（线段图）、二维（平面图） 空间的题目回答较好，对于三维空间题目回答较差，如：

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